1.9. Интервальные оценки

ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Интервальное оценивание параметров распределения генеральной совокупности состоит в построении доверительных интервалов.

Доверительным интерваломдля параметраназывается интервал, содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью. Таким образом,. Числоназываетсядоверительной вероятностью, а значение–уровнем значимости.

При построении доверительных интервалов вводят в рассмотрение специально подобранную статистику , распределение которой известно. Наиболее распространенными являются статистики, имеющие нормальное, Стьюдента ираспределения.

Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров распределения генеральной совокупности зависит как от вида распределения, так и от знания значений остальных параметров закона распределения.

1.9.1.Рассмотрим задачу построениядоверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрамии. Найдем доверительный интервал для математического ожиданияв предположении, что дисперсиянеизвестна и задан уровень значимости.

Английский математик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что статистика имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Так как кривая плотности вероятностей распределения Стьюдента симметрична относительно, будем искать доверительную область в виде:.

Рис. 11 - Геометрическое пояснение смысла квантилейраспределения Стьюдента

Из рисунка 11 видно, что площадь под графиком каждого из симметричных «хвостов» будет равна , тогда значения границ интервала совпадут с квантилямии.

В таблице П 4 Приложения приведены значения в зависимости от доверительной вероятностии числа степеней свободы. Можно также использовать функцию СТЬЮДРАСПОБР пакета прикладных программEXCEL.

Таким образом, получаем: или

.

Подставив в полученное неравенство значения ,,,и разрешив это неравенство относительно, получим доверительный интервал для неизвестного математического ожиданиянормально распределенной случайной величиныс неизвестной дисперсиейи заданным уровнем значимости:.

ПРИМЕР 6

Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами идля уровней значимости,ипри неизвестной дисперсии.

Общее выражение для доверительного интервала в данном случае имеет вид:

Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.

:,,

– число степеней свободы.

Так как в таблице П4 Приложения нет числа степеней свободы , то для вычисленияможно воспользоваться следующим методом:

Статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР пакетаEXCELдает значение квантили. Нужно иметь в виду, что вEXCELвычисляются значения двусторонних «антиквантилей». Поэтому чтобы получить значение односторонней квантили, нужно в этой функции задать вероятность(см. справку к функции СТЬЮДРАСПОБР).

В дальнейших расчетах используем значения, даваемые EXCEL.

,.

Подставим значения этих квантилей и вычисленные ранее значения _{и в формулу доверительного интервала:}

Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью.

Аналогично найдем доверительные интервалы для математического ожидания для уровней значимости и.

:,,,

,,

Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью.

:,,,

,,

.

Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью.

1.9.2.Определим теперьдоверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной случайной величиныс неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости α.

В этом случае рассматривается статистика , имеющая распределение сстепенями свободы, где– объем выборки.

Будем искать доверительную область в виде:

_{Рис. 12}- Квантили распределения

Как и в предыдущем случае, будем считать площади под «хвостами» кривой распределения равными покаждая (рис. 12).

Тогда границы интервала совпадут с квантилями:

,.

В таблице П5 Приложения приведены значения в зависимости от доверительной вероятностии числа степеней свободы. Можно также использовать функцию ХИ2ОБР пакета прикладных программEXCEL.

Таким образом, получаем

.

Подставив в полученное неравенство значения ,,,и разрешив это неравенство относительно, получим доверительный интервал для неизвестной дисперсиинормально распределенной случайной величиныс неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости:

.

Следует отметить, что если математическое ожидание генеральной совокупности известно, то доверительный интервал для дисперсии будет иметь другой вид.

Длина доверительного интервала характеризует точность оценивания и зависит от объема выборки и доверительной вероятности. Чем меньше длина доверительного интервала, тем надежнее оценка. При увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается.

ПРИМЕР 7

Требуется построить доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами идля уровней значимости,и.

_{Для построения доверительного интервала для неизвестной дисперсии} нормально распределенной генеральной совокупности используется статистика, имеющая распределениес степенями свободы:

.

Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.

:,,.

Так как в таблице П5 Приложения нет числа степеней свободы , то для вычисленияможно воспользоваться следующим методом:

Статистическая функция ХИ2ОБР пакета EXCELдает следующие значения квантилей распределения «хи- квадрат»:

, .

Следует иметь в виду, что в функции ХИ2ОБР вычисляются «антиквантили» . Чтобы получить значение квантили, нужно ввести обратную вероятность.

В дальнейших расчетах используются значения квантилей, вычисленные в EXCEL.

Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью.

Аналогично найдем доверительные интервалы для дисперсии для уровней значимости и.

:,,.

, .

Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью.

:,,,

,,

Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью.

Заметим, что выборочная дисперсия попадает во все найденные доверительные интервалы, причем, чем меньше уровень значимости, тем больше длина соответствующего доверительного интервала.