Критерий согласия пирсона

Для проверки гипотез о виде распределения применяются различные критерии согласия:(«хи- квадрат») К. Пирсона или критерий Колмогорова. Наиболее удобным и универсальным критерием является критерийПирсона. Он совершенно не зависит ни от вида распределения случайной величины, ни от ее размерности.

Ограничимся описанием применения критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений).

Схема применения критерия согласия :

1). Выдвигается гипотеза : генеральная совокупность имеет нормальное распределение с плотностью вероятностей :

с параметрами ,, то есть выборочное среднееи модифицированная выборочная дисперсияпринимаются соответственно за математическое ожиданиеи дисперсиюнормально распределенной случайной величины.

2). По выборке наблюдений случайной величины составляется группированный вариационный ряд (таблица 4).

3). Вычисляются вероятности попадания значений случайной величиныв-тый интервал.

Для нормального закона

.

Здесь – функция распределения нормального закона, значения которой находят по таблицам.

4). Вычисляется выборочное значение статистики критерия :

,

где – число интервалов разбиения выборки;– объем выборки;– частота-того интервала;– теоретическая вероятность попадания значений случайной величиныв-тый интервал.

К. Пирсон доказал, что эта статистика независимо от вида распределения генеральной совокупности при имеет- распределение сстепенями свободы, где– число интервалов разбиения,– число оцениваемых параметров гипотетического закона распределения. Для нормального закона(параметрыи).

5). Областью отклонения (критической областью) гипотезыназывается такая область, при попадании в которую статистикигипотезаотклоняется. Область отклонениявыбирается так, чтобы вероятность попадания в нее величины, когда гипотезаверна, была равна уровню значимости. Тогда критическая точка, ограничивающая область, определяется из уравнения:

.

Из этой формулы следует, что критическая точка равна с квантили распределения Пирсона, отвечающей вероятностис числом степеней свободы(таблица П 5 Приложения).

Таким образом, если вычисленная выборочная статистика , то гипотезапринимается. Если, то гипотезаотвергается.

Область принятия критерия имеет вид, представленный на рис. 10.

Выбор области принятия гипотезы можно объяснить следующим образом: значения теоретических вероятностей и относительных частот интерваловдолжны быть достаточно близки, поэтому разностине должны быть слишком велики.

Рис. 10 - Область принятия критерия

Статистический выводневерно формулировать в виде: генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения. Можно лишь утверждать, что данная выборкасогласуетсяс гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами,на уровне значимости.

З а м е ч а н и е:критерийиспользует тот факт, что случайная величинаимеет распределение, близкое к нормальному. Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо выполнение условиядля всех интервалов. Интервалы, для которых это условие не выполняется, следует объединить с соседними.

ПРИМЕР 5

Требуется для выборки (таблица 1) с помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезуо виде распределения генеральной совокупности (нормальное распределение) на уровне значимости. Сделать статистический вывод.

Для данной выборки объема n=99 ранее были вычислены выборочное среднееи модифицированная выборочная дисперсия

, составлен группированный вариационный ряд (таблица 4), а также выдвинута гипотезао нормальном распределении генеральной совокупности.

Вычислим теперь вероятности попадания значений случайной величиныв-тый интервал и выборочное значение статистики критерия:.

Результаты вычислений занесем в таблицу.

Таблица 9

1	3,00	-6,0000		-2,3134	-0,4896
2	3,90	-5,0000	4,0000	-1,7031	-0,4554	0,0342
3	4,80	-4,0000	12,0000	-1,0929	-0,3621	0,0933
4	5,70	-3,0000	16,0000	-0,4827	-0,1844	0,1777
5	6,60	-2,0000	21,0000	0,1275	0,0517	0,2361
6	7,50	-1,0000	23,0000	0,7378	0,2703	0,2186
7	8,40	0,0000	12,0000	1,3480	0,4115	0,1412
8	9,30	1,0000	10,0000	1,9582	0,4750	0,0635
9	10,20	2,0000	1,0000	2,5684	0,4949	0,0199

Так как в первом и последнем интервалах не выполняется условие , то объединим эти интервалы с соседними. При объединении интервалов значенияисуммируются

Таблица 10

1	16,0000	12,6225	0,9037
2	16,0000	17,5923	0,1441
3	21,0000	23,3739	0,2411
4	23,0000	21,6414	0,0853
5	12,0000	13,9788	0,2801
6	11,0000	8,2566	0,9115
Сумма	99		2,5659

Суммируя элементы последнего столбца таблицы, получим

. Число степеней свободы после укрупнения таблицы 10 равно.

Область принятиягипотезы можно записать в виде

,

откуда следует, что критическое значение совпадает с квантилемраспределения хи- квадрат с доверительной вероятностью.

В нашем случае и, число степеней свободы. По таблице П5 Приложения находим значение критической точки распределения (квантили)=6,2514. Так как, то на данном уровне значимости гипотезапринимается.

Статистический вывод: данная выборка согласуется с гипотезой о нормальном распределении с параметрами ,=1,6387 на уровне значимости, то есть вероятность отвергнуть гипотезу, при условии, что она верна, равна.