21. Решение совместной системы линейных уравнений.

А)Формула Крамера. а) Пусть m=n и |A|≠ 0, значит , т.е. система совместна и определенна.

(1) ← алгебраические дополнения элем.k-того столбца. Предположим что х₁…х_n не неизвестные а их значения. Т.е. все эти равенства верные. Сложим все строки системы:

A_k получается из матрица A заменой k-того столбца столбцом свободных членов, чужим столбцом. Отсюда получаем: - формулы Крамера.

В) Пусть имеется СЛУ с n неизвестными, причем . Для определенности будем считать что базисный минор матрицы А расположен в левом верхнем углу матрицы А. Этот же минор будет базисным и для расширенной матрицы системы. Каждая строка расширенной матрицы системы не пересекающая базисный минор является линейной комбинацией строк, пересекающих базисный минор поэтому система СЛУ (1) эквивалентна системе:

. Если то неизвестныеx_r+1…x_n называются свободными и слагаемые содержащие свободные неизвестные перенесем в правые части уравнений. Тогда система (2) примет вид: .

Неизвестные x₁…x_r - главные (базисные) неизвестные. Придавая свободным неизвестным различные значения из системы (3) мы будем каждый раз получать системуr уравнений с r неизвестными имеющие единственные решения . Т.к. определитель этой системы (3) есть базисный минор М≠0 объединяя (4) и (5) мы получаем общее решение системы (1):. Придавая величинамвсевозможные значения из поля Р мы получаем все решения системы (1), каждое из которых называется частным в отличие от общего.

СЛУ можно решать матричным методом: АХ=В. Можно методом Гаусса: его суть в последовательном исключение неизвестных. Или методом Гаусса-Жордано: Представляет собой модификацию метода Гаусса, вмнсто того чтобы исключить x_k только в уравнениях k+1…n исключают x_k также и в уравнениях 1…k-1. При решении системы методом Гаусса-Жордано выбирают разрешающее уравнение и разрешающее неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы. А в качестве разрешающей неизвестной, неизвестное, коэффициенты при котором в выбранном уравнении отличны от 0. Далее делим обе части разрешающего уравнения на коэффициенты при разрешающем неизвестном и исключаем разрешающее неизвестное из всех уравнений системы кроме разрешающего. Преобразования производим до тех пор пока каждое уравнение системы не побывает в качестве разрешающего.

22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.

Определение: СЛУ над полем Р называется однородной если все ее свободные члены равны 0, в противном случае она называется неоднородной.

Теорема: ОСЛУ всегда совместна т.к. имеет по крайней мере нулевое решение. Для того чтобы Ослу имела не нулевое решение необходимо чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных. В частности ОСЛУ с m уравнениями и n неизвестными имеет отличные от 0 решения тогда и только тогда когда .

Утверждение этой теоремы является следствием критерия определенности.

Пусть - какое-нибудь отличное от нуля решение ОСЛУ, это решение можно рассматривать как строкуизn чисел. Если С – произвольное число то ясно что строка тоже решение ОСЛУ. Всякая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением этой системы.

Определение: Линейно-независимая система решений ОСЛУ называется фундаментальной если каждое решение ОСЛУ является комбинацией этих решений.( Совокупностьmax числа линейно-независимых решений называется фундаментальной системой решений).

Теорема: Если то ОСЛУ обладает ФСР.

Доказательство: Пусть и пусть для определенности минорM_r≠0 расположен в левом верхнем углу матрицы А. Перенесем слагаемые содержащие свободные неизвестные x_r+1…x_n в правую часть уравнения получим систему: .

Придавая свободным неизвестным значения мы из системы (2) получим. Это дает нам строку-решение. Затем придавая свободным неизвестным значения (0,1,0…0) получим. Это дает нам строку-решениеи т.д. Продолжая этот процесс мы найдем всегоk=n-r решений: . Этиn-r решений независимы т.к. ранг образованной ими матрицы имеет ранг n-r решений.

Покажем теперь что решения е₁,е₂… е_n-r образуют ФСР. Согласно определению ФСР для этого надо показать что каждое решение ОСЛУ можно представить в виде линейной комбинации решений е₁,е₂…е_n-r.

Пусть - произвольное решение ОСЛУ. Рассмотрим строку. Легко видеть что все элементы стоящие на последнихn-r местах этой строки е₀ будут равны 0, т.е. . Т.к. е₀ линейная комбинация решений то строка е₀ сама будет решением ОСЛУ. А т.к. значение всех свободных неизвестных в строке е₀=0 то из однородности в этом случае системы (2) определитель которой отличен от 0, получаем что и значение всех неизвестных в е₀=0, т.е. е₀ есть 0 строка. Отсюда следует что (ч.т.д.)

Таким образом можно сказать что общее решение ОСЛУ имеет вид где е₁,е₂…е_n-r - ФСР, а С₁,С₂…C_n-r – произвольные числа.

Важно отметить: Общее решение неоднородной СЛУ равно сумме общего решения соответствующей ОСЛУ и произвольного но фиксированного решения СЛУ. Отсюда следует что если е₁,е₂…е_n-r - ФСР (ОСЛУ) и е₀ - произвольное фиксированное решение СЛУ то общее решение СЛУ имеет вид , где С₁,С₂…C_n-r – произвольные числа.

Сформулированное утверждение следует из следующих очевидных утверждений : 1) Сумма любого решения неоднородной СЛУ и соответствующей ей ОСЛУ является решением неоднородной СЛУ.

2) Разность двух произвольных решений неоднородной системы двух уравнений является решением соответствующей ОСЛУ.

Матричная форма доказательств этих утверждений самая короткая.