3. Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.

Теорема: Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Доказательство: А) Определим вначале знак члена определителя при произвольном порядке сомножителей.

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αk, βk}… a_{αl, βl}… a_{αn, βn} (*)

α₁, α₂… α_k… α_l ...α_n (1) – перестановка номеров строк.

β₁, β₂… β_k… β_l ...β_n (1’) – перестановка индексов столбцов.

Обозначим число инверсий в перестановке (1) – S_1, в перестановке (1’) – S₁’. Рассмотрим сумму S₁+ S₁’, и покажем, что четность или нечетность этой суммы не меняется ни при каком изменении порядка множителей. Ясно что от одного порядка множителей к другому можно перейти с помощью конечного числа транспозиций множества. Поэтому достаточно доказать, что характер четности числа S₁+ S₁’ не изменится при одной транспозиции множества в произведении(*).

a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αl, βl}… a_{αk, βk}… a_{αn, βn} (**)

α₁, α₂… α_l… α_k ...α_n (2)

β₁, β₂… β_l… β_k ...β_n (2’)

Число инверсий в перестановке (2) – S₂, в перестановке(2’) - S₂’. Рассмотрим число S₂+S₂’. S₁ и S₂ имеют разный характер четности. S₁’ и S₂’ имеют разный характер четности следовательно суммы S₁+ S₁’ и S₂+S₂’ имеют одинаковый характер четности. Напишем множители рассматриваемого члена определителя (*) в порядке следования строк: a_{1, j1}, a_{2, j2}…a_{n, jn} (3).

Обозначим число инверсий столбцов через S, число инверсий в перестановке строк =0. Таким образом по доказанному числа 0+S и S₁+S₁’ имеют одинаковый характер четности. Следовательно, знак члена определителя (*):

(-1)^S=(-1)^S1+S1’

В)

Рассмотрим произвольный член определителя D: a_{α1, β1}, a_{α2, β2}… a_{αn, βn} - он будет и членом определителя D₁, т.к. в нем в качестве множителя взят один и только один элемент из каждой строки и столбца матрицы определителя D₁(в D первые индексы – номера строк, вторые – номера столбцов, а в определителе D₁ – наоборот).

Покажем что знаки этого члена, как в D , так и в D₁ будут одинаковы. Это следует из того что знаки этого члена и в D и в D₁ определяются суммой числа инверсий в перестановках первых и вторых индексов. D=D₁ .(ч.т.д.)

4. Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.

Теорема: Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.

Доказательство:

a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…*a_{k, γk}*…*a_{l, γl}*…*a_{n, γn} – член определителя D, он будет и членом определителя D₁, но знак его здесь будет противоположный.

Знак этого члена определителя в D: γ₁,γ₂…γ_k…γ_l…γ_n (1)

А в D₁: a_{1, γ1}*a_{2, γ2}*…* a_{l, γl} *…* a_{k, γk} *…*a_{n, γn}

γ₁,γ₂…γ_l…γ_k…γ_n (2)

Перестановки (1) и (2) отличаются одной транспозицией, значит характер четности этих перестановок разный. Следовательно рассматриваемый член в D и в D₁ имеет разные знаки. Следовательно D= – D₁.(ч.т.д.)

Следствие: Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.

Доказательство: Допустим в матрице определителя D две одинаковые строки. Поменяем местами эти две одинаковые строки. Определитель соответствующий новой матрице обозначим D₁. Согласно доказанной теореме D= – D₁. Но т.к. мы поменяли две одинаковые строки и матрица не изменилась, следовательно, D=D₁. Получаем иD=0.(ч.т.д.)