39. Векторные уравнения прямой и плоскости.

Ясно что точка М будет принадлежать плоскости тогда и только тогда когда или. Уравнение (3) имеет место и для ОДСК. Уравнение (3) называется векторным уравнением плоскости.

Если инаправляющие вектора плоскости, тогда в качестве нормального вектора плоскости можно взять, тогда (3) перепишем в виде. Уравнение (3’) в координатyой форме только для ДПСК имеет вид А(х-х₀)+ В(у-у₀)+ С(z-z₀)=0 (3’’).

Уравнение (3’’) является уравнением плоскости проходящей через точку М₀ (х₀ у₀ z₀) заданному вектору (А,В,С)

Векторные уравнения прямой линии в пространстве. Точка М принадлежит прямой тогда и только тогда когда , т.е.

Посмотрим теперь как связаны между собой два общих уравнения определяющих одну и ту же прямую линию или плоскость в ДПСК. Пусть для определенности даны два уравнения плоскости П: (4). Векторы- являются нормальными векторами в одной и той же плоскости. Значит

. Умножим обе части (4) второго уравнения наt и вычтем из первого. Получим . Следовательно коэффициенты общих уравнений определяющих одну и туже прямую или плоскость пропорциональны.

Признаки параллельности плоскости и прямой на плоскости. Плоскости и прямые на плоскости задаваемые своими общими уравнениями параллельны тогда и только тогда когда соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны. Если пропорциональны все коэффициенты то плоскости и прямые совпадают.

40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.

Система двух уравнений первой степени , в которых коэффициентыx,y,z не пропорциональны определяют некоторую прямую EF в пространстве как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (8) называются общими уравнениями прямой в пространстве. Любое решение системы (8) x₀,y₀,z₀ дает нам координаты начальной точки М(x₀,y₀,z₀). Направляющий вектор прямой

Приведем уравнение прямой к каноническому виду . Учитывая написанное выше получим.

41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.

Уравнение прямой проходящей через две точки.

Уравнение прямой проходящей через три точки.

Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости тогда и только тогда когда - компланарны, т.е..

- искомое уравнение плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая задана своими общими уравнениями то в качестве направляющего вектора можно взять.тогда (9) примет вид

или . Отсюда следует что три плоскости пересекаются в одной точки тогда и только тогда когдаТ.к. это неравенство означает что прямая линия по которой пересекаются какие-нибудь две из плоскостей не параллельна третьей.

Уравнения в отрезках. Уравнения вида называется уравнением плоскости в отрезках.- уравнение прямой на плоскости в отрезках. Геометрический смысл чиселa,b,c: a,b,c – это величины отрезков отсекаемых плоскостью от осей координат Ox,Oy,Oz соответственно.(точка О – начало отрезков).

Полупространство, полуплоскость.

Определение: Множество точек М пространства удовлетворяющих условию

называется полупространством определяемым плоскостью П и ее нормальным вектором .

Это определение равносильно- уравнение полупространства.- нормальный вектор плоскости..- уравнение другого полупространства т.к. плоскость разбивает пространство на два полупространства. Неравенство (1) в координатной форме:. Уравнение другого полупространства:. Аналогично определяется что такое плоскость и полуплоскость. И доказывается что- одна полуплоскость, а- другая полуплоскость. Пусть даны две точки М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂). Если иимеют одинаковые(разные) знаки то точки М₁ и М₂ находятся по одну(по разные) стороны от плоскости .

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки М до плоскости есть высота параллелепипеда (см. рисунок). . Ясно что направляющие векторы можно выбрать так чтобы. Тогда. В координатной форме. Уравнениеназывается нормированным уравнением плоскости. Расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат её точки в левую часть нормированного уравнения плоскости.

Уравнение видагде + еслиD<0 и – если D>0 называется нормальным уравнением плоскости.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М до прямой равно высоте параллелограмма. илигде М(x₀,y₀) – некоторая точка прямой, а х,у координаты вектора .

Учитывая что формулу (3) перепишем в виде. Из (3) следует чтогденормальный вектор прямой. Уравнение виданазывается нормированным уравнением прямой на плоскости. Таким образом расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки её координат в левую часть её нормированного уравнения прямой.

Нормальное уравнение прямой на плоскости где + еслиC<0 и – если C>0.

Таким образом нормальное уравнение прямой если сумма квадратов коэффициентов при x,y,z равна 1 и свободный член отрицательный.

Расстояние между непараллельными прямыми.Пусть p непараллельна q. В этом случае существуют две такие параллельные плоскости P и Q что прямая p лежит в P а прямая q лежит в Q. Если уравнения прямых ито плоскость Р имеет начальную точку с радиус вектороми направляющими векторамии. А плоскостьQ начальную точку с радиус вектором и теми же самыми направляющими векторами, так как Р параллельнаQ.

Теорема: Прямые с уравнениями ипересекаются тогда и только тогда когдаh=0.

Вычисления углов: а) Угол между двумя прямыми это угол между направляющими векторами этих прямых.

б) Угол между прямой и плоскостью есть по определению угол ψ между прямой d и ее проекцией на плоскости. Получаем два угла ψ и π- ψ(тупой и острый). Каждый из этих углов заключен между 0 и π. В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и нормального вектора плоскости П имеем 4 угла попарно вертикальных. Обозначим через φ угол между любым вектором направляющим и любым нормальным вектором плоскости. Т.к. угол ψ заключен между 0 и π то егоsin≥0, Причем

в) За угол между плоскостями принимают угол между любыми нормальными векторами к этим плоскостям. Это опять два угла – острый и тупой, дополняющие друг друга до π.