30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или.(1)

Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор то скалярное произведение равно 0.

Через m и n обозначим оси определяемые единичными векторами и.

Вместо (1) мы можем написать

Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если -сила, точка приложения которой перемещается из начала векторав конец, то работа при этом совершаемая равна.

Свойства скалярного произведения:

1) (2) – коммутативность.

2) (3)

(3’)

Доказательство: (3) – доказано.

3)Дистрибутивность

Доказательство :

Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения:

4)Для того, чтобы , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или.

5)

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов.

Пусть

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

Если и векторсоставляет с осями координат углытогда.называются направляющимивектора.

Если то

.

Пусть задана координата двух точек итогда

.

31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

Определение: Векторным произведением векторов иназывается вектор обозначаемыйкоторый удовлетворяет трем следующим условиям: 1.

2. Вектор перпендикулярен векторами.

3. Тройка векторов ,,является правой.

Рассмотрим основные свойства векторного произведения: 1) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторови.

2) Если не параллелентоплощади параллелограмма построенного на векторахи, точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника

3)

Доказательство:

4)

Доказательство: Докажем равенство (а). При α=0 или параллельномутверждение очевидно. Пусть α≠0 ине параллельно.

Правая часть:

Левая часть: 1. α >0

2. α <0

Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам и, осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α >0 то эти векторы направлены также как и. Если α <0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору(ч.т.д.)

Равенство (б) следует из (а) и свойства (3):

5) Дистрибутивность:

Доказательство:Докажем равенство (а’). Пусть единичный вектор(орт).. Сначала докажем равенство.

От точки О отложим векторы и. Через точку О проведем плоскость перпендикулярную. Повернемпо часовой стрелке на 90 градусов если смотреть с конца вектора..- правая тройка.. Значит. Докажем равенство(*). Повернем треугольникOA’B’ на угол 90 градусовесли смотреть с конца вектора.

(*) доказана. Теперь обе части равенства (*) умножим на :(ч.т.д.)

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов ипо векторам базисато мы можем записать на основании свойств 4 и 5:

В ортонормированном базисе :. (+ если тройка векторов правая, - если левая)

Для определенности будем считать что базис всегда правый. Таким образом получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой:.

Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую часть(**).

Таким образом произведение не

Замечание: Векторное обладает свойством ассоциативности. Например: