Оптимальное управление линейными системами

Постановка задачи:

а)

б)

в)

а) Вводим дополнительную фазовую переменную, таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.

Запишем функцию Гамильтона:

Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:

𝝂_j

Найдем оптимальное управлении из условия максимизации функции Гамильтона:

Так как существуют ограничения на управление, то на ряду со стационарными точками необходимо проверить значения, которые достигает функция Гамильтона на границах:

0

u_j

U_jmax

𝜈_j(t)>0

𝜈_j(t)>0

Допустим 𝜈_j имеет вид:

𝜈_j(t)

t

t₁

t₂

t₃

t₄

u_jopt

U_max

t

t₁

t₂

t₃

t₄

б) Вводим дополнительную фазовую переменную, таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.

Запишем функцию Гамильтона:

Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:

𝜈_j(t)

u_j

𝜈_j/2

𝜈_j/2

𝜈_j/2

𝜈_j/2

𝜈_j(t)

𝜈_j(t)

Решение линейных задач оптимального управления для экономических систем.

Оптимальное управление процессом фондообразования по критерию минимизации суммарного объема инвестирования

Исходная задача оптимального управления:

Перейдем к обобщенной задаче оптимального управления, которую приводим к универсальному виду:

Переобозначаем переменные:

Вводим дополнительную фазовую переменную, таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.

Запишем функцию Гамильтона:

Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:

Найдем оптимальное управление:

Запишем каноническую систему дифференциальных уравнений:

Условие трансверсальности:

=0

Краевая задача:

𝜓₁(t)

1

t*

T

t

u_opt

t

T

t*

I_max

1. Рассмотрим отрезок временной оси

2. Рассмотрим временной период

Тогда значение фондов в конечный момент времени равно

Из полученного уравнения выразим t*:

Определим минимальное значение функционала:

Оптимальное управление процессом фондообразования по критерию максимизации основных фондов

Задача оптимального управления:

- ограничение на инвестиции

Переобозначаем переменные F и I:

Введем дополнительную фазовую переменную х₂ таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.

Запишем обобщённую задачу оптимального управления:

Запишем функцию Гамильтона:

Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:

Найдем оптимальное управление:

Запишем каноническую систему дифференциальных уравнений:

Выражение для оптимального управления запишется следующим образом:

Построим график 𝜓₁(t), где точка t* является точкой переключения управления:

t

T

t^*

𝜓₁(t)

-e^-𝜇t

T

t^*

C

u_opt

I_max

t