5. Уравнение надёжности системы

Уравнение надёжности системы – аналитическое выражение вероятности безотказной работы системы через показатели безотказности ёё структурных элементов.

Для составления уравнений структурная схема разбивается на отдельные блоки, состоящие только из последовательно или параллельно соединённых элементов.

Ниже приводятся формулы для расчёта вероятности безотказной работы для различных комбинаций соединений элементов.

5.1 Вероятность безотказной работы при последовательном и параллельном соединении элементов

Последовательное соединение

Пусть имеем систему состоящую из n последовательно соединённых элементов, вероятности безотказной работы Р_i которых известны (рис.1).

Рис. 6 Структурная схема с последовательным соединением элементов

Обозначим через А_i событие безотказной работы i-го элемента. Система будет работать безотказно (событие А), если все элементы безотказны, то есть произойдут все события А_i, так как события независимы, то , где

Р(А) = Р_посл – вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением элементов;

Р(А_i) – вероятность безотказной работы i-го элемента.

Р_посл = (1) Q_посл = 1 - (2)

Параллельное соединение

Система с параллельным соединением К элементов, вероятности безотказной работы Р_i которых известны. Схема изображена на рис.7.

Рис.7 Структурная схема с параллельным соединением элементов

Обозначим через событие отказа i-го элемента. Система откажет (событие ), если откажут все элементы т.е. произойдут все события ,

, Р(, где

Р(_пар – вероятность отказа системы;

Р(_I – вероятность отказа i-го элемента.

Или Q_пар = _i = _i) (3) P_пар = 1 - _i (4)

5.2 Интенсивность отказов системы при последовательном и параллельном соединении элементов.

В практике эксплуатации и испытаний изделий в качестве показателей безотказности невосстанавливаемых изделий используется интенсивность отказов , а для восстанавливаемых изделий – параметр потока отказов.

Если рассчитывать эти показатели в пределах ресурса и по всему парку изделий, находящихся в эксплуатации, то можно считать =. Хотя физические причины отказов различны и наработка до отказов подчиняется разным законам, в период нормальной эксплуатации интенсивность и параметр потока отказов практически не зависят от времени. Если оценивать надежность систем на малом промежутке времени, например времени полета, это можно считать, что. Это равносильно принятию экспоненциального закона распределения

Последовательное соединение

(5)

(6)

Среднее время отказной работы системы

Параллельное соединение

(7)

Интенсивность отказов системы

(8)

Если величина t 1, то можно использовать приближенные формулы, полученные разложениемв ряд Тэйлора

Q_i , 1-t

Подставив в (6) вместо , получим :

(9)

где - интенсивность отказов системы при параллельном соединении элементов.

5.3 Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом

Резервирование, при котором резервные элементы включаются только при отказе основных, называется резервированием с ненагруженным резервом. В системе (рис 8) для резервирования основного элемента предусмотрено n резервных элементов. Такую группу можно рассматривать как единую систему, состоящую из n+1 элемента. Она будет работать безотказно при n отказах и только при n+1 отказах произойдет отказ всей системы.

Рис.8.Система с ненагруженным резервом

О.Э.-основной элемент; НР1-первый резервный элемент; НРn - n-й резервный элемент.

Если интенсивность отказов всех ‘элементов одинаковы, а переключающее устройства абсолютно надежны, то вероятность того, что в системе произойдет не более n отказов, т.е. вероятность безотказной работы:

₍₁₀₎

_{Где k - допустимое число отказов}

_{n-число элементов в системе, включая и резервные}

_{Например, вероятность того, что не произойдет ни одного отказа (n=0) равна . Вероятность появления не более одного отказа равна , не более двух . Средняя наработка системы на отказ равна:}

_{Если переключающее устройство имеет вероятность отказа , то вероятность безотказной работы системы, состоящей из 4}^х _{элементов равна:}

_{Если интенсивность оказов основного элемента и ненагруженного элемента неодинаковы, то}

₍₁₁₎

_{Средняя наработка на отказ такой системы}

_{Для случая, когда переключающее устройства не абсолютно надежны}

₍₁₂₎