lektsii_za_2_semestr_doc

§7. Собственные значения и собственные векторы

Подпространство L' пространства L называется инвариантным относительно оператора , еслиx L' его образ x L'.

Примеры инвариантных подпространств: , L, ker , im .

Собственным вектором x оператора будем называть такой вектор, для которого выполняется равенство x x, где называется собственным значением, соответствующим собственному вектору x оператора и R(C).

Свойства собственных векторов

1) Каждому собственному вектору x соответствует единственное собственное значение .

x x,x x

( )x

2) Если x – собственный вектор оператора , то любой вектор x, где 0, также является собственным вектором для собственного значения .

x x

x x

( x) ( x).

Теорема. Для того чтобы являлось собственным значением оператора : Ln Ln необходимо и

достаточно, чтобы оно было корнем его характеристического многочлена.

x x

x x

( E)x

x ker( E)

dimker( E) 0

dimker( E) dim im( E) n

defekt( E) rg( E) n

rg( E) n E 0 является собственным значением тогда и только тогда, когда является корнем характеристического многочлена оператора .

Собственным подпространством векторов называется множество V собственных векторов x

оператора для собственного значения в объединении с нулевым элементом.

Докажем, что V является линейным подпространством.

1) x, y V , x y V .

(x y) x y x y ( (x y)).

2) x V , x V .

( x) x x ( x).

Величина dimV называется геометрической кратностью собственного значения .

Теорема. Матрица линейного оператора в каком-либо базисе e является диагональной тогда и только тогда, когда e – базис, составленный из собственных векторов оператора .

[ ]e .

Достаточность.

21

e1 1e1 1e1 0e2 ... 0ene2 2e2 0e1 2e2 ... 0en

...

en nen 0e1 0e2 ... nen.

Получаем определитель матрицы линейного оператора – матрица является диагональной. Необходимость доказывается аналогично.

Теорема. Если 1, 2 ,..., n – различные собственные значения, то соответствующие им собственные векторы x1,x2,...,xn образуют линейно независимую систему.

Используем метод полной математической индукции. 1) Проверим для n 1.

x1 – система из одного элемента является линейно независимой.

2)Предположим выполнение условия для n m. x1,x2 ,...,xm – линейно независимая система.

3)Докажем выполнение условия для n m 1.

m 1

i xi

i 1

m 1

( i xi )

i 1

m 1

i xi

i 1

m 1

i i xi

i 1

m 1

i m 1xi

i 1 m

i ( i m 1)xi

i 1

1, 2 ,..., m 0 попредположениюиндукции

m 1xm 1 x1,x2 ,...,xm 1 – линейно независимая система.

На основании метода математической индукции приходим к выводу, что векторы x1,x2,...,xn образуют линейно независимую систему n N.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора

Пусть задан оператор : Ln Ln.

1)Запишем матрицу оператора [ ]e.

2)Решим характеристическое уравнение [ ]e E 0, его корни 1, 2 ,..., n будут являться

собственными значениями. Если оператор действует в вещественном пространстве, а некоторые из полученных корней – комплексные, то отбрасываем их.

3) Для нахождения собственных векторов для каждого из собственных значений составим и решим однородную систему уравнений ([ ]e k E)x .

§8. Операторы простой структуры

Линейный оператор : Ln Ln называется оператором простой структуры, если существует базис из его собственных векторов, в котором матрица оператора имеет диагональный вид.

[ ]e A

22

При возведении матрицы A в степень m используем каноническое разложение и получаем меньшее число арифметических операций: Am e e' m e 1 e' .

Теорема. Оператор является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда алгебраические и геометрические кратности каждого из его собственных значений совпадают.

Пусть 1, 2 ,..., n – все различные собственные значения оператора : Ln Ln и пусть mk и sk ,

n

k 1,n – соответственно алгебраические и геометрические кратности k . dim Ln mi. С другой

Алгоритм построения канонического разложения матрицы

1)Находим собственные значения и определяем их алгебраические кратности.

2)Находим геометрические кратности собственных значений.

(A k E)

sk n rg(A k E)

Если алгебраические и геометрические кратности совпадают, то 3) Строим трансформирующую . Для ее построения находим собственные значения и векторы,

выписываем векторы в матрицу в таком же порядке по столбцам, в каком выписываем соответствующие собственные значения на диагональ матрицы .

Если алгебраические и геометрические кратности не совпадают, то построение невозможно.

§9. Жорданова нормальная форма матрицы

Теорема. Пусть задан линейный оператор : Ln Ln. Пусть L1,L2 ,...,Ls – инвариантные подпространства пространства Ln , причем L1 L2 ... Ls Ln. Тогда существует

остальные блоки являются нулевыми.

Выберем в линейных подпространствах L1,L2 ,...,Ls базисы

e(1) (e1(1) ,e2(1) ,...en(11) ),

23

В совокупности эти базисы дают базис f всего пространства Ln . Так как Li – инвариантное подпространство линейного оператора , элемент ei(1) , i 1,n1 попадает в L1 и поэтому является линейной комбинацией системы элементов e(1). Другими словами, координаты элементов ei(1) в базисе f , соответствующие ei(2) ,ei(3) ,...,ei(s) , равны нулю. Аналогично получаем для всех элементов ei(k) .

Теорема. Каждой паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения линейного оператора соответствует двумерное инвариантное подпространство этого оператора.

Зафиксируем в линейном пространстве Ln некоторый базис e и рассмотрим матрицу A линейного оператора в этом базисе.

Пусть i , 0 – комплексный корень характеристического уравнения линейного оператора .

Тогда A E 0 и система линейных уравнений A E x с комплексными коэффициентами имеет ненулевое решение x, которое можно записать в виде x u iv, разделив действительные и мнимые части у элементов столбца x.

Столбец v не является нулевым, так как в противном случае x u , Au x. Видим, что действительные элементы столбца Au получаются из действительных элементов столбца u умножением на комплексное число , а это возможно лишь в случае, когда u . Но это противоречит выбору столбца x.

Столбцы u и v линейно независимы. Действительно, если они линейно зависимы, то u v 0, где одно из чисел , отлично от нуля.

Пусть 0 и поэтому u kv, где k R x u iv (k i)v. Ax x A(k i)v (k i)v, Av v. Равенство невозможно при комплексном числе .

A(u iv) ( i )(u iv). Разделим действительные и мнимые части, получаем: Au u v, Av u

+ v. Рассмотрим векторы x и y , которые в базисе e имеют координатные столбцы xe u, ye v: x

x y, y x y. Векторы x и y линейно независимы, так как независимы их столбцы u и v.

Полученные соотношения означают, что двумерное линейное подпространство L'n L(x, y) является инвариантным подпространством линейного оператора .

Теорема. Если характеристическое уравнение линейного оператора : Ln Ln имеет p различных пар комплексно сопряженных корней j i j , j 1, p и q различных действительных корней j , j 1,q,

причем 2p q n dimLn , тогда матрица линейного оператора в некотором базисе будет иметь вид:

Каждой паре комплексно сопряженных корней j i j характеристического уравнения соответствует двумерное инвариантное подпространство Pj оператора с базисом uj ,vj. Каждому собственному значению j соответствует одномерное собственное подпространство Qj оператора . Можно показать,

24

что все эти пространства образуют прямую сумму, так как пересечение любой пары таких подпространств содержит только . Учитывая, что сумма размерностей этих подпространств 2p q n dimLn ,

заключаем, что P1 P2 ... Pp Q1 Q2 ... Qq L. Матрица A оператора имеет блочно-

диагональный вид, причем каждый диагональный блок представляет собой ограничения оператора на соответствующее инвариантное подпространство. В случае двумерного подпространства Pj в базисе

uj ,vj эта матрицы равна C( j , j ), а в случае одномерного подпространства Qj такой блок есть число,

представляющее собой собственное значение j .

Для произвольного числа R введем обозначение матрицы порядка s :

Заметим, что в случае s =1 матрица сводится к числу .

Для произвольного комплексного числа i ( 0) введем обозначение блочной матрицы порядка 2r:

Блочно-диагональную матрицу вида

жордановыми клетками.

К О Н Е Ц

25