lektsii_za_2_semestr_doc

Должны выполниться:

1)gi .

2)(gi ,gj ) 0 i j.

Система, состоящая из одного элемента является ортогональной, то есть при n 1 условия выполняются.

2) Предположим, что утверждения выполняются при n k. g1,g2 ,...,gk

(gi ,gj ) 0 i j.

3) Докажем, что утверждения выполняются при n k 1. gk 1 fk 1 ( fk 1,e1)e1 ... ( fk 1,ek )ek .

Предположим, что gk 1 .

fk 1 ( fk 1,e1)e1 ... ( fk 1,ek )ek fk 1 ( fk 1,e1)e1 ... ( fk 1,ek )ek .

e1,e2 ,...,ek выражаются через f1, f2 ,..., fk , то есть fk 1 выражается через f1, f2 ,..., fk . Получаем линейную зависимость в системе f1, f2 ,..., fk , fk 1, что противоречит условию теоремы, так как первоначальный базис f1, f2 ,..., fn – линейно независимая система. Получаем противоречие, то есть наше предположение неверно gk 1 .

Умножим скалярно обе части равенства на ei :

(gk 1,ei ) ( fk 1,ei ) ( fk 1,e1)(e1,ei ) ... ( fk 1,ei )(ei ,ei ) ... ( fk 1,ek )(ek ,ei ).

По предположению для n k , элементы g1,g2 ,...,gk попарно ортогональны. (gk 1,ei ) ( fk 1,ei ) ( fk 1,ei ) 0.

(gk 1,gi ) 0.

Таким образом, по методу математической индукции получаем, что 1) и 2) выполняются n N , то есть в любом евклидовом пространстве можно построить ортонормированный базис, что и требовалось доказать.

Второй вариант формул ортогонализации Грама – Шмидта.

Пусть f1, f2 ,..., fn - какой-либо базис, e1,e2 ,...,en - ортонормированный базис, g1,g2 ,...,gn -

вспомогательный базис. g1 f1

g2 f2 ( f2 ,g1) g1

(g1,g1)

…

11

§3. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей

Пусть задано евклидово пространство En размерности n, в котором заданы элементы x и y .

Пусть e1,e2 ,...,en – ортонормированный базис пространства En . Тогда существуют разложения:

n

xx1e1 x2e2 ... xnen xiei.

i 1

(x, y) ( xiei , yjej ) xi yj (ei ,ej ).

i 1 j 1 i 1 j 1

Координаты элементов в базисе e1,e2 ,...,en :

Тогда скалярное произведение элементов x и y выражается формулой (x, y) xeT e ye.

Заметим, что e eT .

Для определения матрицы e' базиса e'1 ,e'2 ,...,e'n запишем разложение для матрицы перехода e e' :

e'1 a11e1 a21e2 ... an1en

e'2 a12e1 a22e2 ... an2en

...

Теорема. Система векторов a1,a2 ,...,an евклидова пространства линейно зависима тогда и только тогда,

когда a 0.

k

Рассмотрим вектор y iai . Равенство нулевому элементу равносильно ортогональности

i 1

вектора y любому вектору из L(a1,a2,...,an ), то есть системе:

12

1(a1,a1) 2 (a1,a2 ) ... n (a1,an ) 0

Линейная зависимость векторов a1,a2,...,an означает наличие нетривиального решения однородной системы уравнений относительно 1, 2 ,..., n с матрицей системы aT , а это значит, что a 0.

Теорема. Определитель матрицы Грама любого базиса больше нуля.

Пусть e1,e2 ,...,en – базис в пространстве En. Пусть e'1 ,e'2 ,...,e'n – ортонормированный базис.

e e' eT e' e' e e' eT e' e. det( e ) det( e' eT e' e ) det( e' eT ) det( e' e ) det(( e' e )2 ) 0.

По предыдущей теореме det( e ) 0, значит det( e ) 0.

§4. Ортогональная матрица. Ортогональное дополнение

Матрица Q называется ортогональной, если выполняется равенство Q QT E. Примеры ортогональных матриц:

1) E

Свойства ортогональной матрицы

1)det(Q) 1.

det(QQT ) det(E)

det(Q)det(QT ) det(E)

(det(Q))2 1

2)QT Q 1

QQ 1 E

3)Если Q – ортогональная, то Q 1 – также ортогональная.

Q 1 (Q 1)T Q 1 (QT ) 1 Q 1 (Q 1) 1 Q 1 Q E

4)Если Q – ортогональная, то QT – также ортогональная.

QT (QT )T (Q 1) (Q 1)T E

5)QT Q E.

QT Q 1 Q 1 Q E

Ортогональное дополнение

Пусть H – подпространство евклидова пространства E. Если x E и ортогонален каждому элементу подпространства H , то говорят, что x ортогонален подпространству H.

Множество элементов, ортогональных подпространству H называется ортогональным дополнением подпространства H и обозначается H .

Теорема. H является линейным подпространством.

Пусть x1,x2 H , y H. Тогда (x1, y) 0, (x2 , y) 0. Складывая два этих равенства, получаем: (x1, y) (x2 , y) (x1 x2 , y) 0 x1 x2 H .

13

Теперь рассмотрим равенство (x1, y) 0. ( x1, y) (x1, y) 0, то есть x1 H . Отсюда следует, что

H – линейное подпространство.

Теорема. Если H – линейное подпространство E, то H H E.

Пусть система e1,e2 ,...,ek – ортонормированный базис H, система ek 1,ek 2 ,...,en – ортонормированный базис H . Докажем теперь, что системаe1,e2 ,...,ek ,ek 1,ek 2 ,...,en – ортонормированный базис всего пространства E. Предположим что это не так. Тогда существует вектор f пространства, который не является линейной комбинацией e1,e2 ,...,en . Система векторов e1,e2 ,...,en , f линейно независима,

применение к ней процесса ортогонализации приведет к получению вектора en 1 , который ортогонален

E в E' такое, что x, y E, R(C) справедливы три требования:

1)(x y) (x) (y)

2)( x) ( (x))

3)( x, y) (x, y)

Изометрия пространств обозначается E E'.

Теорема. Два евклидовых пространства изометричны тогда и только тогда, когда равны их размерности.Необходимость.

Следует из изоморфизма евклидовых пространств как линейных пространств. Достаточность.

dim(E) dim(E')

e1,e2 ,...,en – ортонормированный базис E, e'1 ,e'2 ,...,e'n – ортонормированный базис E'.

Требования 1) и 2) выполняются, так как координаты обладают свойствами линейности. Проверим 3):

n

y yjej.

14

Унитарные пространства

§1. Определение и свойства

Комплексные евклидовы пространства называются унитарными. Комплексное линейное пространство V называется комплексным евклидовым (унитарным) и обозначается U , если выполняются два требования:

1.x, y U ставится в соответствие по определенному правилу комплексное число, обозначается (x, y) и называется скалярным произведением элементов x и y .

2.Указанное выше правило подчинено четырем следующим аксиомам:

x, y,z U, C

1)(x, y) (y,x)

2)(x y,z) (x,z) (y,z)

3)( x, y) (x, y)

4)(x,x) 0, (x,x) 0 x . (x,x) R.

Примером унитарного пространства может являться множество всех векторов размерности n с комплексными координатами.

Свойства скалярного произведения

1)(x, y z) (x, y) (x,z)

2)(x, y) (x, y)

3)(x, ) 0

nn

4)( i xi , y) i (xi , y)

i 1 i 1

5) x, y,z U :(x,z) (y,z) x y

Неравенство Коши – Буняковского в унитарных пространствах

x, y

( x y, x y) 0

( x, x) (y, x) ( x, y) (y, y) 0

(x,x) (y,x) (x, y) (y, y) 0

2 (x,x) (x, y) (x, y) (y, y) 0

Пусть (x, y) – комплексное число с аргументом .

Тогда (x, y) (x, y)(cos isin )

t(cos isin )

t R

2 t2

(x, y) t (x, y)

(x, y) t (x, y)

t2 (x,x) 2t(x, y) (y, y) 0

D (x, y) 2 (x,x)(y, y) 0 (x, y) 2 (x,x)(y, y).

Неравенство треугольника x y x y x y также выполняется

Угол между элементами не определен, длина элемента определена как x (x,x).

15

§2. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей

x, y U

nn

xxiei , y yjej

i 1 j 1

n n n n

(x, y) ( xiei , yjej ) xi yj (ei ,ej )

i 1 j 1 i 1 j 1

Матрица R называется унитарной, если выполняется равенство RRT E.

Свойства унитарной матрицы

1)det(R) 1.

2)RT R 1.

3)Если R – унитарная матрица, то RT – тоже унитарная матрица.

4)RT R E.

Линейные операторы

§1. Определение и свойства

Пусть заданы два линейных пространства Ln и Lm . Оператором будем называть отображение

: Ln Lm , которое ставит в соответствие каждому элементу x Ln элемент y Lm , y (x).

Оператор называется линейным, если x1,x2 Ln , R выполняются следующие требования:

1)(x1,x2 ) (x1) (x2 ).

2)( x) (x).

Если n m, то оператор называется отображением. Если : Ln Ln , то оператор называется

преобразованием. Если : Ln R(C), то оператор называется функционалом.

Два оператора и называются равными, если условие x x выполняется x Ln.

Примерами линейных операторов могут служить подобие векторов : Ln Ln | x x и операция дифференцирования многочленов : Pn Pn 1 | (p(x)) p'(x).

Основные свойства линейных операторов

x Ln

1) 1 2

1 Ln , 2 Lm

(0 x) 0 x 2

n n

2)( i xi ) i xi , то есть линейный оператор переводит линейную комбинацию элементов в

i1 i 1

линейную комбинацию образов с теми же коэффициентами.

16

3) Линейный оператор переводит линейно зависимую систему в линейно зависимую, а линейно независимую – в линейно независимую.

§2. Задание линейного оператора

для задания линейного оператора достаточно определить его только на базисных векторах пространства

Ln.

Пусть e1,e2 ,...,en – базис Ln , g1,g2,...,gn Lm .

Теорема. Существует, и при том единственный, оператор , который переводит e1,e2 ,...,en в g1,g2 ,...

...,gn.

n

x Ln , x xiei.

i 1

n

x xi ei

i 1

ei gi.

Оператор – линейный (следует из линейности координат)

Теперь докажем единственность. Предположим, что также существует оператор :

n n n

x xiei xi ei xi gi x, то есть x Ln . Значит, оператор единственен.

Матрица линейного оператора

Пусть e1,e2 ,...,en – базис пространства Ln , а f1, f2 ,..., fm – базис пространства Lm .

Задан оператор : Ln Lm :

e1 a11 f1 a21 f2 ... am1 fm

e2 a12 f1 a22 f2 ... am2 fm

...

en a1n f1 a2n f2 ... amn fm

Выписываем координаты различных образов базисных элементов e1,e2 ,...,en в базисе f1, f2 ,..., fm в

матрицу по столбцам:

Координаты вектора и его образа

: Ln Lm , x Ln , x y Lm.

Теорема. Координаты элемента x и элемента y связаны следующим соотношением: [ ]fe xe yf , где e

n

yi aij xj j 1

17

y x ( xjej ) xj ej xj aij fi aij xj fi.

Из единственности разложения вектора по базису получаем, что yi aij xj , а значит yf [ ]fe xe.

j 1

§3. Линейное пространство линейных операторов

1) Пусть и – два линейных оператора, которые действуют из Ln в Lm . Суммой двух операторов называют оператор : Ln Lm , который определен по правилу ( )x x x, x Ln.

def

1)(x y) ( (x y)) ( (x) (y)) ( )x ( )y

def

2) ( x) ( ( x)) ( x) ( )x.

18

m

ej cij gi. i 1

ej ( ej ) ( asj fs ) asj fs asj bis gi bisasj gi cij bisasj .

Теорема. Образ и ядро линейного оператора являются подпространствами Lm и Ln соответственно.

Сначала докажем, что ker – линейное подпространство Ln .

Теорема. Если e1,e2 ,...,en – базис пространства Ln , то im L( e1 , e2 ,..., en ).

n n

Достаточно показать двустороннее включение: если y im , то y x ( xiei ) xi ei

Теорема. Ранг оператора это есть ранг его матрицы в каком-либо базисе.

rg dim im dim L( e1, e2 ,... en ) rg[ ]fe. A [ ]fe

Теорема. Если : Ln Lm , то rg defekt dim Ln.

Пусть e1,e2 ,...,ek – базис ker . Пусть e1,e2 ,...,ek ,ek 1,...,en – базис Ln .

Теперь рассмотрим im L( e1, e2 ,..., ek , ek 1,... en ). По определению ядра, e1,e2 ,...,ek – элементы базиса ядра, поэтому e1, e2,..., ek – нулевые элементы. Тогда L( ek 1, ek 2 ,..., en ) im . Предположим, что найдутся i такие, что k 1 ek 1 k 2 ek 2 ... n en . Тогда

( k 1ek 1 k 2ek 2 ... nen ) k 1ek 1 k 2ek 2 ... nen ker . Если элемент принадлежит ядру, то он выражается через базис ядра. Получаем противоречие, значит rg dim L( ek 1, ek 2 ,..., en )

n k . Отсюда rg defekt n k k n dimLn.

19

Если x и для оператора существует обратный, то из x следует x .

Теорема. Для того чтобы для оператора существовал обратный оператор 1 , необходимо и достаточно, чтобы преобразование было взаимнооднозначным преобразованием.

Необходимость.

Пусть задано, что 1. Предположим, что не является взаимнооднозначным преобразованием: x1,x2 Ln , x1 x2

x1 yx2 y

(x1 x2) x1 x2 x1 x2, то есть – взаимнооднозначное преобразование. Достаточность.

y x. Тогда 1( x) x. Возьмем два элемента: y1 x1, y2 x2

x1 1 y1, x2 1 y2

1(y1 y2 ) 1( x1 x2 ) x1 x2

1( y1) 1( x1) x1.

Таким образом, построенный оператор является линейным и обратным оператору .

Теорема. Матрица оператора и матрица обратного оператора 1 связаны следующим равенством: [ ]e[ 1]e E.

При доказательстве ссылаемся на теорему о матрице произведения операторов.

1 E, [E] E [ ]e[ 1]e E.

§6. Характеристический многочлен матрицы и оператора

многочленом матрицы. Уравнение A E 0 называется характеристическим уравнением матрицы.

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

B 1 A .

B E 1 A E 1A 1E 1(A E) 1A E 1 A E EA E A E

Характеристический многочлен и характеристическое уравнение оператора : Ln Ln в базисе e обозначаются [ ]e E и [ ]e E 0 соответственно.

20