1.2.5. Интенсивность отказов.

Рассмотрим процесс испытаний некоторого достаточно большого числа не- восстанавливаемых элементов N₀.

Пусть в произвольный малый временной интервал [t; t+At] отказали AN элементов. Тогда для AN справедливо соотношение AN = N₀AF(t), где F(t) - функ­ция распределения отказов. Число элементов, находящихся на момент t в работо­способном состоянии, В.Б.Р., будет равно N = N₀P„(t).

Рассмотрим число отказов в единицу времени по отношению к числу рабо­тоспособных на данный момент элементов

Совершив предельный переход At—>0, получим

где f(t) - плотность распределения отказов, a A.(t) называют интенсивностью отка­зов. Из последней формулы видно, что A.(t) является условной

рас­пределения отказов при условии, что до момента t отказов не было

Последнему уравнению можно придать другой вид: Замечая, что , получим. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение получаем соотношения, получившее названиеосновное уравнение теории надежности :

.

2. Основные распределения теории надежности 2.1. Экспоненциальное распределение.

По определению оно имеет вид

для ВБР P_H(t) = (2.1)

Функция отказов F(t) = 1 - Pн(t) = 1 - (2.2)

Оно самое простое, т.к. является однопараметрическим - содержит 1 пара­метр . Применяют в тех случаях, когда не возникает постепенных отказов, и описывает следующие системы:

Высокоответственные системы на этапе нормальной работы.

Сложные изделия, состоящие из большого числа элементов.

Любые системы при рассмотрении малых отрезков времени, на которых

= const.

Плотность распределения вероятности

_(2.3)

Математическое ожидание

_(2.4)

Дисперсия

_(2.5)

Интенсивность отказов

имеет смысл интенсивности отказов.

Таким образом, для экспоненциального распределения математическое ожидание и интенсивность отказов связаны соотношением

Временная зависимость показателей надежности имеет вид:

Рис. I. Временная зависимость показателей надежности при экспоненциальном законе.

Ш)В случае экспоненциального закона у% ресурс определяется из уравнения

(2.6)

Откуда получаем (2.7)

Где -средняя наработка за отказ

2.2. Усеченное нормальное распределение времени наработки до отказа.

Усеченным нормальным распределением времени С.В. называется распре­деление, получаемое из нормального путем усечения интервала возможных зна­чений.

Рассмотрим С.В. Х₀, имеющую нормальное распределение с параметрами то, ₀². Плотность распределения такой величины будет задаваться функцией Га­усса:

(2.8)

Пусть С.В.X принимает значения аxв. Плотность расределения Х определим следущим образом

(2.9)

Рис 2.2 Плотность распределения усеченного нормального закона

Величину множителя с определим изусловия нормировки : (2.10) Знаменатель в последней формуле равен площади , покрытой двойной штриховкой на Рис. 2

-функция Лапласа , обладающим свойством Ф(-z)=-Ф(z)

В теории надежности обычно принято усечение на интервале [0;∞) (а=0,в=∞). В этом случае

. Среднее и дисперсия величины X будут отличны от (2.11) _(2.12)

Значения Ф(z) даны в п.1

Зависимость m и от величиныпредставленав таблице 2.1 . Как видно из табл

2.1,при >2.5 эффектом усеченя можно пренебречь и пользоватся обычным нормальным законом с плотностью

Значения Ф(z) даны в п.1

Зависимость m и от величиныпредставленав таблице 2.1 . Как видно из табл

2.1,при >2.5 эффектом усеченя можно пренебречь и пользоватся обычным нормальным законом с плотностью

	1
с	1,19	1,07	1,02	1,01	1,00
	1,29	1,09	1,03	1,01	1,00
	0,63	0,77	0,88	0,95	0,99
	0,613	0.537	0.454	0.386	0.331

Вероятность безотказной работы В.Б.Р. при усеченном нормальном законе будет равна

(2.13)

Гарантийный срок является корнем трансцендентного уравнения

(2.13)

Или

(2.14)

Откуда находим

, где обозначено (2.15) (2.15)

A (x) –функция, обратная функции Лапласа Ф(z).

Интенсивность отказов

(2.16)