Результаты моделирования и исследование статистических характеристик

2.1

.

.

.

Подставляя в полученные формулы исходные данные, получаем:

По сгенерированной и представленной в приложении Б выборке строим вариационный ряд

.

Весь промежуток разбиваем точками на непересекающихся интервалов .

Подсчитываем частоты попадания выборочных значений в -ый интервал .

Вычисляем относительные частоты

Считаем высоту столбца гистограммы , где . Очевидно, что в нашем случае все равны между собой.

Вычисляем теоретическое значение функции нормального распределения с заданными параметрами в середине интервала по формуле:

_, , где

Полученную информацию заносим в интервальный статистический ряд в форме таблицы:

Интервалы	Частоты	Относительные частоты	Высота столбца гистограммы	Теоретическое значение в середине интервала
[-1.474;-1.181)	20	0.050	0.171	-1.327
[-1.181;-0.888)	31	0.077	0.279	-1.034
[-0.888;-0.595)	38	0.095	0.356	-0.741
[-0.595;-0.302)	45	0.113	0.419	-0.448
[-0.302;-0.008)	56	0.140	0.473	-0.155
[-0.008;0.285)	56	0.140	0.476	0.138
[0.285;0.578)	55	0.138	0.422	0.431
[0.578;0.871)	40	0.100	0.360	0.724
[0.871;1.164)	34	0.085	0.284	1.017
[1.164;1.457)	25	0.062	0.178	1.311
Весь промежуток	400	1

2.2

Выборочным средним называется величина:

.

Выборочной дисперсией называется величина:

.

Для вычисления выборочного среднего по сгруппированным данным определяется по формуле:

,

а для выборочной дисперсии используется формула:

.

Для вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии использовались стандартные функции Scilab. Полученные значения соответственно равны:

.

Для подсчета выборочного среднего и выборочной дисперсии по сгруппированным данным были написаны специальные алгоритмы. Полученные значения соответственно равны:

.

В обоих случаях полученные значения отличаются от истинных значений математического ожидания и дисперсии, равных, соответственно:

Для удобства приведем сравнительную таблицу полученных величин математического ожидания и дисперсии:

	Математическое ожидание	Дисперсия
Выборочные	0.030	0.524
По сгруппированным данным	0.033	0.466
Истинные	0	0.514

2.3

Требуется оценить один параметр , поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка :

Приняв во внимание, что , , получим . Учитывая, что математическое ожидание заданной функции равно , окончательно имеем .

Итак, точечной оценкой параметра , заданного распределения является .

Полученная оценка отличается от истинного значения параметра .

2.4

Пусть наблюдаемая величина имеет функцию распределения , зависящую от неизвестного параметра . При интервальном оценивании параметра ищут две такие статистики и ( и - случайные величины), для которых при заданном выполняется соотношение .

В этом случае интервал является -доверительным интервалом для параметра .

Доверительный интервал математического ожидания (с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией ):

,

где - выборочная дисперсия, .

Истинное значение математического ожидания попадает в построенный доверительный интервал.

Доверительный интервал для дисперсии (при неизвестном математическому ожидании :

,

- выборочный центральный момент четвёртого порядка.

Истинное значение дисперсии попадает в построенный доверительный интервал.

2.5

Для проверки гипотезы о нормальном распределении заданной функции с помощью критерия Пирсона, выборочные данные мы группируем и представляем в виде интервального статистического ряда, где - интервалы группировки, - частоты попадания выборочных значений в интервалы соответственно ().

Теоретическая вероятность попадания случайной величины в при неизвестных параметрах распределения находится по формуле:

,

где ; - функция Лапласа, значение которой находится по таблице; среднее выборочное по сгруппированным данным ; дисперсия по сгруппированным данным _.

В случае неизвестных параметров, они заменяются их оценками максимального правдоподобия. А число степеней свободы предельного распределения хи – квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров

Для удобства представим интервальный статистический ряд в виде таблицы:

Интервалы	Частоты	Относительные частоты	Теоретическая вероятность
[-1.474;-1.181)	20	0.050	0.048
[-1.181;-0.888)	31	0.077	0.081
[-0.888;-0.595)	38	0.095	0.104
[-0.595;-0.302)	45	0.113	0.122
[-0.302;-0.008)	56	0.140	0.140
[-0.008;0.285)	56	0.140	0.140
[0.285;0.578)	55	0.138	0.128
[0.578;0.871)	40	0.100	0.105
[0.871;1.164)	34	0.085	0.083
[1.164;1.457)	25	0.062	0.049
Весь промежуток	400	1

Объем выборки , частоты попадания значений в выбранные интервалы , значит, мы можем вычислить статистику критерия по формуле:

При неизвестных значениях параметров распределения .

Для заданного уровня значимости порог .

, значит, гипотеза о распределении заданной функции принимается.