2 Лекция 4.3. Уравнение сохранения энергии в тепловой форме в абсолютном движении

Запишем уравнение сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении в дифференциальном виде:

Поскольку в этой формуле участвуютудельные величины, то справедливо соотношение , с учётом которого формула примет вид:

Запишем уравнение 1ого закона термодинамики для частицы рабочего тела элементарного объёма:

, где

dQ_внеш – удельное тепло, подводимое извне к частице рабочего тела элементарного объёма;

dQ_r – удельное тепло трения, подводимое извне к частице рабочего тела элементарного объёма;

du = d(c_vT) – изменение удельной внутренней энергии частицы рабочего тела элементарного объёма;

pdv – удельная работа против сил трения при увеличении объёма частицы рабочего тела элементарного объёма;

dv – изменение удельного объёма частицы рабочего тела.

Запишем уравнение состояния газа:

В дифференциальном виде это же уравнение:

Отсюда выведем уравнение для pdv:

Подставим выражение для pdv в уравнение 1ого закона термодинамики:

, причём c_v+R=c_p, а c_pdT=di

Из уравнения сохранения энергии в механической форме в абсолютном движении можно получить выражение:

Заметим также, что dQ_r = dL_r, т.к. dL_r является работой по преодолению сил трения и равна выделившемуся при этом теплу трения. Тогда

или

(3)

Это уравнение сохранения энергии в тепловой форме в абсолютном движении в дифференциальном виде.

Проинтегрируем это выражение от 1ого до 2ого сечения

Рис.2.7.

или (4) Это уравнение сохранения энергии в тепловой форме в абсолютном движении в интегральном виде.

Пример использования уравнения сохранения энергии в тепловой форме

Рис. 2.8. Осевая турбина (может иметь 1 или 2 ступени)

Газ совершает механическую работу, тепло не подводится, поэтому Qвнеш = 0, LмехГ-Т = -LТ <0, поэтому ТТ*<TГ*

2.4. Уравнение сохранения энергии в механической форме в относительном движении

Рассмотрим схему стационарного 3-х мерного потока в РК ЛМ.

Рис. 2.9.

, т.к. поток стационарный. Выделяем частицу А массой dm. SW – её траектория в относительном движении w – вектор относительной скорости Мысленно затормозим РК и рассмотрим силы , действующие на частицу А. dR – вектор силы, с которой лопатка действует на частицу (dR  w) dT – сила трения Рис. 2.10.

dP_p – сила давления, с которой среда воздействует на частицу.

Инерционные силы:

dP_Ц/Б - центробежная сила, направленная от центра к периферии по радиусу.

Модуль этой силы |dP_Ц/Б| = ².r.dm, r – расстояние до центра вращения.

dP_Кор - кориолисова сила, должна быть перпендикулярна вектору относительной

скорости w (dP_КОР  dw) и вектору угловой скорости (dP_КОР  d). По модулю сила Кориолиса равна.

Мы затормозили поток только в переносном движении, в относительном движении поток продолжает проходить между лопатками, причём движется ускоренно под действием равнодействующей всех сил. Запишем 2й закон Ньютона для частицы:

Перейдём от векторной записи к скалярной. Для этого:

1) Введём систему координат с центром в точке А и такими осями:

1я ось – s_w – касательная к траектории частицы s_w’ в точке А

2я ось – n_w – нормаль к траектории частицы s_w’ в точке А

3я ось – l_w – направление, нормальное к обеим осям.

2) Выделим элементарный объём с геометрическим центром в точке А, сориентируем его по осям s_w, n_w, l_w, рисунок 2.11.

Рис.2.11.	3) Спроецируем векторное уравнение на ось АSw. Разделим на dm все члены уравнения, учтём также, что dm = dsW dnW dlW.
Рис.2.12.	Определим, чему равен cos ? За бесконечно малое время dt частица переместится в направлении sW на dsW, а в направлении r на dr. В системе координат sw, nw, lw вектор r занимает общее положение с вообще говоря ненулевыми проекциями по всем трём осям. С осью sw вектор r составляет угол . Из прямоугольного треугольника очевидно, что cos = dr/dsW.

Здесь - удельная сила, изменяющая давление на частицу; - удельная сила трения;

- удельная инерционная сила.

Умножим обе части уравнения на ds:

Здесь - удельная работа по изменению давления;

- удельная работа сил трения, обозначается dL_r;

- удельная работа инерционных сил;

- удельное изменение кинетической энергии потока в относительном движении.

В окончательном виде получаем:

(5)

Это уравнение сохранения энергии в механической форме в относительном движении в дифференциальном виде.

Проинтегрируем это выражение в пределах от входа (1) до выхода (2) РК:

(6)

Это уравнение сохранения энергии в механической форме в относительном движении в интегральном виде.

Уравнения сохранения энергии в относительном движении используют только для потока в рабочих колёсах.

Пример 1. Рассмотрим центробежный компрессор (только рабочее колесо).

В меридиональном сечении изобразим одномерную схему потока.  - const.	Рис. 2.13.
В окружном сечении изобразим двумерную схему потока. Построим треугольники скоростей на входе и на выходе РК. Из них очевидно, что w2 < w1. Перенесём соответствующую компоненту формулы в левую часть: Давление рабочего тела в РК ЦБН возрастает за счет инерционных сил , за счёт преобразования части кинетической энергии в потенциальную в относительном движениивопреки гидравлическим потерям.	Рис. 2.14.

Замечание. Если используется осевое РК в компрессоре, то формула примет вид:

Пример 2. Рассмотрим центростремительную турбину (только рабочее колесо).

В меридиональном сечении изобразим одномерную схему потока. На входе: ; на выходе: ;	Рис.2.15.
В окружном сечении изобразим двумерную схему потока. Построим треугольники скоростей на входе и на выходе РК. Межлопаточные каналы сужаются, вследствие чего относительная скорость возрастает. , причём <0; <0	Рис.2.16.

Работа расширения газа в РК ЦСТ идёт на преодоление инерционных сил , на увеличение кинетической энергии потока в относительном движениии на преодоление гидравлического сопротивления.

Лекция 5