Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 3
.pdf
Лекция 3
Работа и энергия
3.1Энергия, работа, мощность
Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.
С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную, . . . .
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел.
Работа силы – количественная характеристика процсса обмена энергией между взаимодействующими телами.
Частный случай: при прямолинейном движении тела и под действием постоянной силы F ее работа A вычисляется по правилу:
|
A = F ∆r = F j∆rj cos = Fs s; |
|
|
|
||
|
s = ∆r |
|
– пойденный путь; |
|
Для |
F = const и v = const !!! |
где |
8 Fs =j F cosj |
|
– проекция F на v, |
|
|
|
|
: |
|
– угол между F и v. |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
В общем случае F может изменяться как по величине, так и по направлению =) правило "работа = сила путь"не справедливо.
Однако, на элементарном (т.е., бесконечно малом) пе-
ремещении dr можно определить скалярную величину |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– элементарную работу dA силы F: |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
F |
v |
||||||||
dA = F dr = F cos ds = Fs ds : |
|
dr |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|||||||
| |
|
{z } |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Fs |
1 |
Fs = F cosα |
2 |
|
||||||||
Элементарная работа dA м.б. > 0 или < 0 в зависимости от взаимной ориентации векторов силы F и перемещения dr:
dA > 0 если F "" dr; dA < 0 если F "# dr; dA = 0 если F ? dr:
А.В. Король. "Механика". Лекция 3 |
19 |
Работа на конечном участке траек- |
F |
|
=F ds |
2 |
|
||||||
тории 1 |
! |
2 (cм. рис.) равна алгебраиче- |
|
= F ds |
|
||||||
s |
|
|
s |
|
|||||||
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
||||||
ской сумме (=интегралу) элементарных ра- |
|
|
|
|
|
s |
|
||||
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
|
||||
|
|
|
|
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
|
||||
|
|
|
|
|
111111111111111000000000000000 |
111111111111111100000000000000001 |
|
||||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||
бот на всех б/м участках пути: |
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
|
|||||||
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||||||
|
111111111111111000000000000000 11111111111111110000000000000000 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
|
||||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||
|
|
|
|
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
|
||||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||
|
∫1 |
|
∫1 |
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
s |
||||
|
|
|
1 |
|
01 |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||
|
|
|
|
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
|
||||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
111111111111111000000000000000 |
11111111111111110000000000000000 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111111111111110000000000000000 |
|
|||||
|
|
|
|
|
1111111111111110000000000000001011111110000000000000000111111111 |
|
|||||
|
|
|
|
|
1111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000 |
|
|||||
|
|
|
|
(3.1) |
111111111111111000000000000000 |
|
10 |
|
11111111111111110000000000000000 |
|
|
A = |
|
F cos ds = |
Fs ds : |
0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 |
|
||||||
|
0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0000000000000001111111111111110100000000000000001111111111111111 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0000000000000001111111111111110100000000000000001111111111111111 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0000000000000001111111111111110100000000000000001111111111111111 |
|
|||||
|
|
|
|
|
000000000000000111111111111111 |
00000000000000001111111111111111 |
|
||||
По отношению к совершаемой работе все силы делятся на два типа: консервативные
силы и неконсервативные силы.
Консервативной (другое название потенциальной) называют силу, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зависят от формы траектории.
(Примеры: сила тяжести, сила упругости, все центральные силы.)
Работа неконсервативной силы зависит не только от начального и конечного положений, но и от формы траектории.
(Примеры: все виды сил трения.)
Рис. Работа консервативной силы одинакова для любого из путей из точки A в точку B.
Работа неконсервативной силы – различна.
Для характеристики скорости совершения работы вводят понятие мощности.
Мощность N силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор (мгновенной) скорости тела.
N = dA = (F dr) = F v :(3.2) dt dt
Единица работы – Джоуль (Дж) = работа силы 1 Н на пути 1 м: 1 Дж = 1 Н м.
Единица мощности – Ватт (Ватт): 1 Вт = 1 Дж=с.
3.2Кинетическая и потенциальная энергии
3.2.1Кинетическая энергия механической системы
Кинетическая энергия механической системы (обозн. Eк) – энергия механического движения системы.
Результирующая сила, действуя на тело и изменяя скорость его движения, совершает
А.В. Король. "Механика". Лекция 3 |
20 |
работу, а энергия тела возрастает на величину совершенной работы.
=) Приращение кинетической энергии на бесконечно малом перемещении частицы равно элементарной работе результирующей силы F на том же перемещении.
При конечном перемещении 1 ! 2 изменение кинетической энергии равно работе результирующей силы:
Кинетическая энергия K = mv2=2:
Зависит только от массы и скорости тела;
K 0;
Неодинакова в разных системах отсчета.
dEк = dA = F dr = m |
dv |
dr |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||
= |
mv dv = m |
dv2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
m |
dv2 |
= d |
mv2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫ |
2 |
|
|
mv |
2 |
2 |
|
|
mv |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
mv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Eк;2 Eк;1 |
|
A = |
|
|
1 |
d |
2 |
|
= |
2 |
|
|
1 |
||||||||
где |
Eк = |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.2.2Потенциальная энергия
Потенциальная энергия (обозн. Eп) – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Потенциальная энергия зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.
Понятие потенциальной энергии можно ввести только для консервативных сил.
Работа консервативной (потенциальной) силы F, соверща-
емая на элементарном перемещении dr, равна изменению dA = F r = dEп (3.3) потенциальной энергии, взятому со знаком минус:
При конечном перемещении из точки 1 в точку 2 работа потенциальной силы не зависит от траектории и определяется изменением потенциальной энергии
∫ 2
A = |
1 |
F r = ( |
"п2 |
|
Eп1) = ∆Eп |
(3.4) |
||
|
|
{z |
|
п |
} |
|
||
|
|
| |
|
|
|
|||
|
|
|
=∆E |
|
|
|
||
здесь "п1 и Eп2 значения потенциальной энергии в точках 1 и 2.
Примеры потенциальной энергии (П.Э.):
П.Э. тела массой m на высоте h (П.Э. силы тяжести): Eп = mgh.
П.Э. деформированной пружины (П.Э. силы упругости): Eп = kx2=2.
А.В. Король. "Механика". Лекция 3 |
21 |
П.Э. гравитационной силы.
Закон всемирного тяготения.
Между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:
F = |
Mm |
|
|
|
(3.5) |
||
r2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
где = 6:67 10 11 Н м2/кг2 – гравитационная постоянная. |
|
|
|
||||
Эта сила называется гравитационной, или силой все- |
M |
|
|
|
|||
|
|
|
M |
||||
мирного тяготения. Силы тяготения всегда являют- |
|
|
|
F |
|||
ся силами притяжения и направлены вдоль прямой, |
|
|
|
|
|
||
проходящей через взаимодействующие тела. |
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
|||||
Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется посредством гравитационного поля.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия определяется соотношением
Mm
Eп = (3.6) r
3.2.3Связь консервативной силы и её потенциальной энергии
При бесконечно малом перемещении dr = dx i + dy j + dz k сила F совершает работу
dA = F r = Fxdx + Fydy + Fzdz |
(3.7) |
где Fx; Fy; Fz – декартовые компоненты силы.
Согласно ур-ю (3.3) эта работа равна убыли потенциальной энергии:
Fxdx + Fydy + Fzdz = dEп |
(3.8) |
Потенциальная энергия зависит от координат радиус-вектора r точки, в которой она определяется.
Из (3.8) следует, что компоненты силы являются частными производными функции Eп = Eп(r), взятыми с обратным знаком:
Fx = |
|
@Eп |
|
; |
Fy = |
|
@Eп |
; Fz = |
@Eп |
|
(3.9) |
||||
|
@x |
|
@y |
@z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@E |
|
|
@E |
|
|
@E |
|
|
|
|||
F = |
( |
п |
i + |
п |
j + |
п |
k) |
grad Eп |
(3.10) |
||||||
@x |
@y |
@z |
|||||||||||||
А.В. Король. "Механика". Лекция 3 |
22 |
т.о., сила есть взятый с обратным знаком градиент (обозначается как grad) потенциальной энергии.1 Для обозначения операции "взятия (вычисления) градиента" применяется
также запись с использованием векторного оператора ("набла"):
|
где |
|
@ |
|
@ |
|
@ |
|
(3.11) |
grad Eп Eп; |
= |
@x |
i + |
@y |
j + |
@z |
k : |
Оператор указывает на применение дифференциальной операции (вычисление частных
производных) к функции, которая стоит справа от него.
3.3Закон сохранения энергии
Полная механическая энергия системы, E, – энергия механического движения и взаимодействия, равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
E = Eк + Eп |
(3.12) |
Закон сохранения полной механической энер-
гии: в системе тел, между которыми действуют только
консервативные силы полная механическая энергия не E = Eк + Eп = const: (3.13) изменяется со временем (т.е., сохраняется) :
Закон сохранения энергия – фундаментальный закон природы, являющийся следствием однородности времени – инвариантности (= неизменности) физических законов относительно выбора начала отсчета времени.
Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы, называются консервативными системами.
В консервативных системах могут лишь происходить превращения "кинетическая энергия" $ "потенциальная энергия но так, что полная механическая энергия остается постоянной.
Диссипативными называются системы, в которых полная механическая энергия уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы.
Этот процесс называется диссипацией (= рассеянием) энергии.
Примером диссипативной системы, является любая система, в в которой действуют неконсервативные силы (напр., трение). В этом случае полная механическая энергия системы не сохраняется, т.е. закон сохранения механической энергии несправедлив.
Однако при исчезновении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида =) энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии.
1Градиент скалярной функции f – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания той функции f, к которой он применяется. Величина градиента, jgradfj, показывает быстроту изменения f в данном направлении.
А.В. Король. "Механика". Лекция 3 |
23 |
3.4Соударения
Удар (соударение) – столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.
Центральный удар – удар при котором тела до удара движутся по прямой, проходящей через их центры масс.
3.4.1Абсолютно упругий удар.
Абсолютно упругий удар – столкновение 2-х тел, в результате которого в сталкивающихся телах не остается деформаций, и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после столкновения снова превращается в кинетическую энергию.
При абсолютно упругом ударе выполняются
закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.
Поскольку непосредственно до удара и сразу после удара потенциальные энергии сталкивающихся тел одинаковы, то приравниватъ (согласно закона сохранения энергии) достаточно только кинетические энергии.
|
m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′ |
|||||||
8 m1v12 |
|
m2v22 |
|
m1v1′ 2 |
|
m2v2′ 2 |
||
: |
|
2 |
+ |
2 |
= |
2 |
+ |
2 |
< |
||||||||
m1, m2 – массы тел, v1, v2 – скорости до столкновения, v1′ , v2′ – скорости после столкновения.
Пример: абсолютно упругий центральный удар. |
8 v1′ = |
(m |
m2)v1 + 2m2v2 |
||||
1 |
m1 + m2 |
||||||
|
|
|
< 2 |
|
|
|
|
Из З.С.Э. и З.С.И. находим скорости тел после столк- |
= |
(m2 |
m1)v2 + 2m1v1 |
||||
> v′ |
|||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
новения: |
> |
|
|
m1 + m2 |
|||
Частные случаи:
Столкновение одинаковых шаров m1 = m2 при v2 = 0: =) v1′ = 0, v2′ = v1 – шары "обменялись" скоростями.
Легкий шар налетает на тяжелый (m1 m2, v2 = 0):
= |
v′ |
|
v |
|
– легкий осткакивает назад с (практически) той же по величине |
) |
1 |
|
1 |
скоростью.
3.4.2Абсолютно неупругий удар.
Абсолютно неупругий удар – столкновение 2-х тел, в результате которого тела объединяются и двигаются как единое целое.
Скорость движения после удара находится из закона сохранения импульса:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v =) v = m1v1 + m2v2 :
При абсолютно неупругом ударе не выполняется закон сохранения полной механической энергии: вследствие неизбежной деформации часть кинетической энергии переходит во
А.В. Король. "Механика". Лекция 3 |
|
|
|
24 |
|
|
|
||||||||||||||
внутреннюю энергию тел (выделившееся тепло Q): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
m1v2 |
m2v2 |
|
|
(m1 + m2)v2 |
|
|
|
m1m2 |
|
|
||||||||
Q = |
( |
1 |
+ |
|
2 |
) |
( |
|
|
|
) |
= |
|
(v1 |
v2)2 : |
||||||
2 |
2 |
2 |
|
2(m1 + m2) |
|||||||||||||||||
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
} |
| |
|
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
начальная |
кин. энергия |
конечная |
кин. энергия |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 11-15.