Добавил:

Syrupotkashlya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

Вводное занятие к лабораторным работам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2023

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Вводное занятие к лабораторным работам по теме ’Погрешность измерений’

1.1Введение

Измерение физической величины - экспериментальный процесс, в котором устанавливается количественное соответствие между измеряемой величиной и однородной с ней величиной, принятой за единицу.

Виды измерений:

Прямые измерения:

Значение физической величины находится непосредсвенно с помощью измерительного прибора.

Пример: "длина" (линейка), "температура"(градусник).

Косвенные измерения:

Значение физической величины находится по известной зависимости от других величин.

Пример: "объем" V = abc, "плотность" ρ = m/V .

Никакое измерение на может быть абсолютно точным.

Всегда имеется некоторая неопределенность в значении измеряемой величины.

Эта неопределенность характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения величины от ее истинного значения.

Некоторые причины, приводящие к появлению погрешностей.

•Ограниченная точность приборов.

•Влияние на измерение неконтролируемых изменений внешних условий (напр., напряжения в эл. сети, температуры и т.д.)

•Действия экспериментатора (включение секундомера с запаздыванием, различное размещение глаз по отношению к шкале прибора и т.п.).

•Неполное соответствие измеряемого объекта той абстракции, которая принята для измеряемой величины (напр., при измерении V тело считается параллелепипедом, в то время как у него могут быть закругления на ребрах).

•Нестрогость законов, которые используются для нахождения измеряемой величины или лежат в основе устройства прибора.

А.В. Король. "Погрешность измерений"

Можно улучшать точность (совершенствуя приборы, уменьшая влияние внешнего мира и т.д.) но нельзя исключить погрешность полностью.

Основная задача измерения: дать оценку истинного значения измеряемой величины и, поскольку отличие этой оценки от истинного значения неизбежно, необходимо найти количественную оценку этого отклонения – погрешность.

x = x˜ ± ∆x.

(1.1)

x˜ – оценка истинного значения, ∆x – (абсолютная) погрешность,

δx ≡ ∆x˜x – относительная погрешность.

Равенство (1.1) имеет вероятностный характер. Оно означает, что с некоторой вероятностью истинное значение x физической величины принадлежит интервалу:

x x˜ − ∆x, x˜ + ∆x

с вероятностью α.

(1.2)

x˜ − ∆x, x˜ + ∆x – доверительный интервал, α – доверительная вероятность.

Цель/задача: научиться находить x˜ и ∆x.

1.2Вероятность (на примере игрального кубика)

Вероятность pi появления числа ”i” (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) равна 1/6:
pi =	1	,		i = 1 . . . 6.				(1.3)

6

• "априорная вероятность" некоторого события pсоб есть
pсоб =				Nсоб	,			(1.4)
				Nисх

• как "измерить"вероятность:
pсоб =				lim		Nсоб	,	(1.5)
						N
			N→∞
N – число опытов.

А.В. Король. "Погрешность измерений"

Некоторые свойства вероятности

•Абсолютно достоверное событие: pсоб = 1.

•Абсолютно недостоверное событие: pсоб = 0.

•Для произвольного события: 0 ≤ pсоб ≤ 1.

• Нормировка вероятностей: соб pсоб = 1.

На примере кубика: i=1 pi = 1 – что-то да выпадет.

• Пусть pсоб1 и pсоб2 – вероятности событий 1 и 2.

(1) Какова вероятность, что произойдет и 1 и 2? pсоб1,2 = pсоб1pсоб2.

На примере кубика: Какова вероятность того, что при 2-х бросаниях кубика два раза выпадет двойка? p22 = p2p2 = 1/36.

(2) Какова вероятность того, что произойдет или 1 или 2? pсоб1,2 = pсоб1 + pсоб2.

На примере кубика: Какова вероятность того, что при бросании кубика выпадет 2 или 3?

1.3Виды погрешностей

Полная погр. = Приборная погр. + Случайная погр. + систематическая погр. +

промахи.

Промахи и систематические погрешности – "исключаем" .

•Промах – грубая ошибка в измерении.

•Систематические погрешности – такие погрешности, которые соответствуют отклонению измеряемой величины от ее истинного значения всегда в одну сторону - либо в сторону завышения, либо в сторону занижения (напр., при определении массы тела "забываем" о силе Архимеда.)

= Полная погрешность = Приборная погрешность Случайная погрешность

Случайные погрешности, ∆xсл, возникают в результате "случайного" (т.е., непредсказуемого) воздействия различных причин/явления на процесс измерения. Отклонения от истинного значения при этом могут быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, причем величина отклонения также может быть различной.

Приборные погрешности, ∆xпр, – связаны с точностью используемого прибора.

А.В. Король. "Погрешность измерений"				4

Правило "сложения" в полную погрешность:
∆x ≡ ∆xполн = q				(1.6)
		∆xсл2 + ∆xпр2
Приборная погрешность ∆xпр определяется одним из трех способов:
• из указаний в инструкции к прибору;
• по классу точности γ прибора:
∆xпр =	γXmax		,	(1.7)

100

где Xmax – наибольшее значение величины x, которое м.б. измерено прибором.

• ∆xпр = "половине цены деления шкалы".

Определение случайной погрешности ∆xсл основано на использовании теории вероятностей.

1.4 Алгоритм нахождения x˜ и ∆xсл для прямых измерений

Пусть величина x измеряется некоторым прибором, погрешность которого ∆xпр.

1.Производим n-кратное измерение величины x. Результаты измерений, xj (j = 1 . . . n) занесятся в таблицу (см. ниже).

2.Оцениваем истинное значения x˜ как среднее арифметическое:

n=1 xj
x˜ ≡ x = Pjn .	(1.8)

3.Случайную погрешность, соответствующую доверительной вероятности α определям определяем следующим образом:

jn=1(xj − x)2
∆xсл = tα,nsP n(n − 1)	(1.9)

	где tα,n т.н. коэффициент Стьюдента, определяемый по числу опытов n и по довери-
	тельной вероятности α. Значения tα,n даны в таблицах.
			p
4.	Вычисляем полную погрешность ∆x = ∆xсл2			+ ∆xпр2 .
5.	Определяем доверительный интервал:
	x =		± ∆x.	(1.10)
		x

А.В. Король. "Погрешность измерений"

1.4.1 Пример представления результатов и проведения расчетов для прямого измерения

Рассмотрим измерение диаметра D маленького "шарика" .

Измерительный прибор – микрометр ( ∆Dпр = 10 мкм = 0.01 мм. 1 микрон (мкм) =10−3 мм).

Так как "шарик" не идеальный, то для определения диаметра разумно проделать несколько измерений. Пусть n = 6. Проведенные измерения дали результаты (в мм): 2.58, 2.57, 2.60, 2.54, 2.55, 2.58.

Таблица: Обработка результатов измерения диаметра

№ опыта		Dj , мм	∆Dj , 10−2мм	∆Dj , 10−4мм2
1	2.58		1		1
2	2.57		0		0
3	2.60		3		9
4	2.54		-3		9
5	2.55		-2		4
6	2.58		1		1
	D	= 2.57мм		P	= 24 × 10−4 мм2

Порядок действий:

1.Первый столбец – номер опыта, второй столбец – результат измерения диаметра (не забудьте обозначить единицы измерения).

2. Вычисляем D = j=1 Dj .

3.Третий столбец: вычисленные значения ∆Dj ≡ Dj − D (вынесение множителя 10−2 сильно упрощает жизнь!!).

4.Четвертый столбец: вычисленные значения (∆Dj )2 (без множителя 10−4, который отнесен к единицам измерения).

5.Вычисляем P ≡ P6j=1(∆Dj )2.

6.Выбираем доверительную вероятность α (преподаватель). Например, α = 0.9.

7.По таблицам (в лаборатории) находим коэффициент Стьюдента tα,n. Для α = 0.9 и n = 6 находим: t0.9,6 = 2.0.

8.Вычисляем случайную погрешность:

∆Dсл = tα,ns

jn=1(Dj − D)2

= t0.9,6

= 0.018мм ≈ 0.02 мм.

n(n

−

9. Вычисляем полную погрешность:

∆D = ∆Dсл2 + ∆Dпр2 ≈ 0.025мм.

А.В. Король. "Погрешность измерений"

10. Записываем результат измерения диаметра:

D = D ± ∆D = 2.57 ± 0.025 мм (для α = 0.9).

1.5Приближенные вычисления

Обработка результатов измерений предполагает проведение вычислений с приближенными числами.

Некоторые правила приближенных вычислений.

• Значащие цифры (на примерах).

1.234			– 4	значащих цифр
1.2340	×	5	– 5	(!) значащих цифр
0.0001234 = 1.234			– 4	значащих цифр
		10−4	– 6	значащих цифр
123400 = 1.23400 × 10

•При сложении и вычитании приближенных чисел следует сохранять в окончательном результате не больше значащих цифр, чем их имеется в наименее достоверном числе:

197.0 + 106.371 = 303.4	(правильно),
197.0 + 106.371 = 303.371	(неправильно),

•При умножении и делении приближенных чисел результат следует округлять до такого числа значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим числом значащих цифр.

12.853 × 3.5 = 45	(2 значащих цифры),
1378 : 0.27 = 5.1 × 103	(2 значащих цифры)
94.3 : 2.358 = 39, 995 = 40.0	(3 значащих цифры)

327 × 23 = 7.5 × 103 (а не 7521)

А.В. Король. "Погрешность измерений"

1.6Косвенные измерения

При косвенных измерениях результат вычисляется по формуле, устанавливающей связь измеряемой величины y с другими величинами, a1, a2, . . . ak, измеренными прямым образом:

y = f(a1, a2, . . . ak).

(1.11)

Пример: V = abc (V - косвенно измеряемая величина, a, b, c - прямо измеряемые величины).

Задача косвенного измерения:

• Пусть в результате обработки прямах измерений для всех величин aj (j = 1, 2, . . . k) определены доверительные интервалы:

aj =		j ± ∆aj .	(1.12)
	a

• По этим данным требуется определить доверительный интервал для y, т.е.:

y =		± ∆y.	(1.13)
	y

1.6.1Вычисление y

Оценка истинного значения величины у производится по формуле

	= f(˜a1, a˜2, . . . a˜k).	(1.14)
y

1.6.2Вычисление ∆y

•Если в зависимости y = f(a1, a2, . . . ak) преобладают операции сложения и вычитания, то удобно использовать формулу

∆y = s

∂f

+ . . . +

∂f

∆ak

∆a1

∆a2

(1.15)

∂a1

∂a2

∂ak

Частные производные ∂f/∂aj вычисляются при значениях aj = aj .

•Если в зависимости y = f(a1, a2, . . . ak) преобладают операции умножения и деления, то удобней воспользоваться выражением

∆y

= s

∂ ln f

+ . . . +

∂ ln f

∆ak

∆a1

∆a2

(1.16)

y˜

∂a1

∂a2

∂ak

Здесь: ln f – натуральный логарифм функции f. Частные производные ∂ ln f/∂aj вычисляются при значениях aj = aj .

А.В. Король. "Погрешность измерений"

1.6.3Алгоритм нахождения y и ∆y для косвенных измерений

Пусть определяется величина у, зависящая от величин a1, a2, . . . ak, измеряемых прямым образом.

Пусть в результате обработки прямых измерений для всех величин aj (j = 1, 2, . . . k) определены доверительные интервалы:

aj = aj ± ∆aj .

1.Занести в протокол лабораторной работы расчетную формулу y = f(a1, a2, . . . ak) с указанием названий всех аргументов.

2.Вывести расчетную формулу погрешности одним из способов:

∂f

+ . . . +

∆ak

(1)

∆y

∆a1

∆a2

∂a1

∂a2

∂ak

∆y

∂ ln f

(2)

∆a1

∆a2

+ . . . +

∆ak

y˜

∂a1

∂a2

∂ak

и занести полученную формулу в протокол лабораторной работы.

3.Вычислить y = f(a1, a2, . . . ak) и ∆y.

4.Определить доверительный интервал: y = y ± ∆y.

1.6.4Пример обработки результатов измерений

• Объём V цилиндра можно рассчитать по формуле:

	πD2		(1.17)
V =		h
	4

где D – диаметр основания, l – высота цилиндра. Обе эти величины измеряются прямым образом.

• Выведем формулу погрешности косвенного измерения объёма:

= s

∆V

∂ ln V

∆π

∆D

∆h

(1.18)

∂π

∂D

∂h

После вычисления производных, в правую часть формулы надо подствлять средние значения диаметра, высоты и π.

В расчёте π = 3.1415926 . . . всегда имеет приближённое значение, а значит, имеет место ошибка округления ∆π и её следует учитывать. Например:

π → π = 3.14 = ∆π = 0.0016

А.В. Король. "Погрешность измерений"

Чтобы определить относительную погрешность ∆V/V , необходимо сначала прологарифмировать формулу (1.17), а затем вычислить частные производные:

ln V = ln π + 2 ln D + ln h − ln 4

∂ ln V

∂π

∂D

∂h

Расчётная формула погрешности имеет вид

= s

π¯

D¯

h¯

∆V

∆π

2∆D

∆h

(1.19)

(1.20)

(1.21)

Значение π можно выбрать так, чтобы (∆π/π)2 было существенно меньше остальных слагаемых в этой формуле и им можно было пренебречь. Таким образом, если это сделано:

∆V	= s	2∆D	2	∆h		2
				+		(1.22)
		D¯			h¯
V

•Пусть измерение длины – прямое измерение стальной рулеткой с миллиметровыми делениями. Приборную погрешность оценим в половину цены деления:

∆lпр = 0.5 мм.

Измерение длины, проведённое тщательно с многократной проверкой, дало 552 мм, причём разброс не обнаружен, т.е. случайной ошибки нет. Запишем результат измерения длины

l = l ± ∆lпр = 552 ± 0.5 мм.

•Измерение диаметра – прямое измерение микрометром с приборной погрешностью

∆Dпр = 0.005 мм.

Многократные измерения диаметра, проведённые в различных местах под различными направлениями, дали следующие результаты (в мм): 2.58, 2.57, 2.60, 2.54, 2.55, 2.58. Наблюдаемый разброс результатов измерений свидетельствует о наличии случайной ошибки, возникновение которой вероятнее всего связано с отличием формы проволоки от идеальной.

Обработка полученных результов производится аналогично тому, как показано в §1.4.1.

Результат измерения диаметра

D = D ± ∆D = 2.57 ± 0.025 мм для α = 0.9.

А.В. Король. "Погрешность измерений"

•После того как произведены и обработаны результаты прямых измерений, можно проводить расчёт объёма и его погрешности:

	V		u							≈ s							≈
	V		u		2				2	≈ s				2			≈
	∆V		u	0.05	2		0.5		2		0.05			2	0.05
		= v		2.57	+		552				2.57				=	2.57		0.02	(1.23)
			u
			t			\|		{z	}
			u				(0.05/2.57)2
Расчёт объёма достаточно вести до трёх значащих цифр
V =			3.14 × (2.57 мм)2					552			286		10		3
				4			×		мм ≈			×		мм					(1.24)
Запишем окончательный результат
V = (2.86 ± 0.06) × 103 мм3 = (2.86 ± 0.06) × 10−6 м3																		(для α = 0.9).

1.7Отчёт по лабораторной работе

На лицевой стороне указывается название и номер лабораторной работы, фамилия исполнителя, номер группы и дата выполнения.

Отчёт содержит:

1.Цель работы

2.Схема установки или электрическая схема

3.Характеристика измерительных приборов: приборные погрешности, класс точности, предел измерения

4.Вывод рабочей формулы

5.Результаты измерений (в виде таблицы)

6.Вычисление результатов измерений, демонстрационный расчет: подставить в расчетную формулу все входящие в нее величины и показать какой получается результат, каков его порядок, вывести размерность вычисляемой величины

7.Вывод формулы для погрешности

8.Вычисление погрешности

9.Окончательный результат

10 Вывод

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции Король А. В.

#
20.12.20231.1 Mб0Вводное занятие к лабораторным работам.pdf
#
20.12.2023286.39 Кб0Лекция 1.pdf
#
20.12.2023126.25 Кб1Лекция 10.pdf
#
20.12.2023191.74 Кб0Лекция 11.pdf
#
20.12.2023155.59 Кб0Лекция 12.pdf
#
20.12.20231.64 Mб0Лекция 2.pdf