Матанализ-Заочники-1

2x

3

1

x

13)

∫

−1

dx 14)

∫5sin x dx

15)

∫2cos x dx

16)

∫

dx 17) ∫cos 2

dx

cos2 x

2

x

18)

∫(2ex +e−x )dx

19)

∫

1+ e2x

dx 20)

∫2x dx 21)

∫23x+1 dx

22)

∫15−x dx

23)

∫

11

dx

e

x

x

24)

∫5 +7x2 dx

25)

∫

x3 + x2 + x +1

dx 26)

∫(x3

+ x2 −5x +11)dx

7)

∫(1− 2x)2

dx

28)

x

x

π

1

7

∫(sin x + cos x)dx

∫

−

x

+11 dx

29)

30)

∫sin x +

4

dx

2

x

2.

Вычислить неопределенный интеграл (интегрирование методом разложения – более сложные

задачи)

Задачи для самостоятельного решения

x

2

x

4

1

2

6

А)

∫

2x +

+

dx

−

+

dx

В)

∫(1

−

x)(1

+

x) dx

3

3

4

Б) ∫

x

x

x

2

7x

5x

x

2

+ x −

3

4x

Г)

∫

3

x

2

− 4

x

+

5x

dx

Д)

∫

3x

dx

Е)

∫sin x

−cot x +

10 dx

sin x

Ж)

∫ex (1− 2x e−x )dx

З)

∫(1+sin x + cos x)dx

И)

∫(2x +3x )2 dx К)

∫(ex + e−x )2 dx

Теорема.

Если Φ(t) есть первообразная относительно функции

f (ϕ(t))ϕ'(t) , то функция

F(x) = Φ(ϕ−1 (x)) есть первообразная относительно

f (x) .

Отсюда имеет место правило замены переменной под знаком интеграла:

Пример:

∫ f (ϕ(t))ϕ'(t)dt = ∫ f (x)dx.

1) ∫e

x2

t = x2

= ∫e

t

1

1

t

1

t

1

x2

xdx =

dt = 2xdx xdx

1

2 dt

= 2 ∫e

dt =

2 e

+C =

2 e

+C

= 2 dt

x

t = x2

1

dt

1

2

2) ∫

dx =

1 dt

=

2 ∫

= 2 arctan x

+C

1+ x4

dt = 2xdx xdx =

1+t 2

2

3) ∫ln x dx =

t = ln x

= ∫tdt = t 2

+C = ln2 x

+C

dt =

dx

x

x

2

2

Задачи для самостоятельного решения

π

1) ∫cos 25x dx

3x +

3) ∫ 1− x dx 4) ∫tan(x +1) dx

5) ∫cot(x −1) dx

2) ∫sin

6

dx

6)

∫

1

dx

7)

∫(25x −125)25

dx

8) ∫cos3 x sin x dx 9)

∫sin x sin 3x dx

10) ∫x6 ex7 dx

x −1

dx

∫arctan2 x

2x

11)

∫

ex

dx

12)

∫

13)

dx

14)

∫

dx

2 + e

x

2

arcsin x

1

− x

1+ x

1+ x

4. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенный интеграл

Пусть u = f (x)

и

v = g(x)

- функции, имеющие непрерывные производные u'= f '(x) и

v'= g'(x) .

Тогда, по правилу дифференцирования произведения, d (uv) = du dv + v du или

u dv = d(uv) −v du . Для выражения

d(uv) первообразной будет, очевидно, uv . Поэтому имеет

место формула интегрирования по частям: ∫udv = uv − ∫vdu .

Пример:

1) ∫x

3

u = ln x,

dv = x3dx

x4

− ∫

x4

1

x4

∫

x3

x4

x4

ln xdx =

1

x4

= ln x

x dx = ln x

−

dx = ln x

−

+C

4

4

4

4

4

16

du = x

,

v =

4

2) ∫ln xdx =

u = ln x,

dv = dx

= x ln x − ∫x 1x dx = x ln x − ∫dx = x ln x − x +C

du =

1 ,

v = x

x

3)

∫x2 sin xdx =

u = x2 ,

dv = sin x

= −cos x x2 + ∫2x cos xdx =

u = 2x,

dv = cos x

= −cos x x2 +

du = 2x,

v = −cos x

du = 2,

v = sin x

2x sin x − ∫2cos xdx = −cos x x2

+ 2x sin x + 2sin x +C

4) ∫e

ax

sin bx dx = e

ax

−

cosbx

a

∫e

ax

cosbx dx

= e

ax

cosbx

+

b

+

b

−

b

+

a

ax

sin bx

−

a

∫e

ax

e

b

b

sin bx dx .

b

a2

ax

eax cosbx

a eax sin bx

Значит

2

sin bx dx = −

+

2

1+

b

∫e

b

b

Откуда ∫e

ax

sin bx dx

= −

b eax cosbx

+

a eax sin bx

+C

1+ a

2

1+ a

2

Задачи для самостоятельного решения

А) ∫x e2x dx

Б)

∫x cos2 x dx

В)

∫x2 sin(−x) dx

Г)

∫x ln x dx

1) y = 3sin x + x3 − 2x 2) y =

x

+1

3) y = 3tan x (2x −ln x) 4) y = arcsin(2x +10)

x −3

10

2) ∫cos x (tan x +1)dx 3)

∫(1 + x)25 dx 4) ∫x ln x dx

1) ∫

x

+ x + 2sin x dx

Вариант 1

1.

Вычислите предел функции: 1)

lim(x4

−12x +8)

2)

lim

3x2

− 48

3)

lim

x5 +5x4 − x + 2

x→2

x→4

x2 −8x +16

x→∞ 7x3 + 4x5 + 4

tan 7x

x −11

2x

4)

lim( 4x

2

+ 2x −

4x

2

−2x )

5)

lim

6)

lim

tan11x

x→∞

x→0

x→∞ x +11

2.

Вычислите производную функции

y = arcsin x + 4x3 − 2x

y = ln x + 2

(arccos x −1) 4)

1)

2)

3) y = 2

y =

1− x2

x

ln x − 2

−2

4

1

sin x

∫

2x e

x2

dx

∫

1)

+5x

+

dx 2)

∫

x

+7

dx

3)

4)

x sin x dx

1+ x2

x

∫ x3

Вариант 2

1.

Вычислите предел функции

1)

lim(x3

−9x +18) 2)

lim

2x2 − 2

3)

lim 7x3 + 25x2

+ x −8

x2 +10x −11

x→3

x→1

x→∞

7x3 − 25x2

2x−10

sin 5x

2x −5

4)

lim( x

2

+ 2x −1 − x

2

−

2x −1)

5)

lim

6)

lim

tan11x

2x +5

x→∞

x→0

x→∞

2.

Вычислите производную функции

1)

y =17 ln x + x6

− tan x

2) y =

x2

+ 2

3)

y = 3

(2sin x − 4x ) 4)

y = arctan(x −11)

x

x2

+5x +1

1

∫

1

1)

∫

−

3x +2cos x

dx

2) ∫sin x (cot x −1)dx

3)

dx

4)

∫x ex dx

2

x ln x

x

Вариант 3

1.

Вычислите предел функции: 1)

lim(x2

−2x +8)

2)

lim

x2 −49

3) lim

12x4 + 25x3 +8x

2x2 −12x −14

6x3 −25x2 + x4 −1

x→4

x→7

x→∞

tan17x

3x + 4

3x

4)

lim(

9x

2

+3x −

9x

2

−3x )5) lim

sin11x

6) lim

x→∞

x→0

x→∞ 3x +5

2.