-
Формулы Бернулли и Пуассона.
Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний n. При больших значениях n пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.
Теорема.
Если вероятность p наступления события
A в каждом испытании постоянна и мала,
а число независимых испытаний n достаточно
велико, то вероятность наступления
события A ровно m раз приближенно равна
Pn(m)
= 
,
где 
.
Доказательство.
Пусть даны вероятность наступления
события A в одном испытании p и число
независимых испытаний n. Обозначим 
.
Откуда p = 
.
Подставим это выражение в формулу
Бернулли:
Pn(m)
= 
(
)m(1
– 
)n-m
=
m\
nm
(1
-
)n(1
– 
)-m
= 
m\m!
* (n - 1)\ n * (n - 2)\n * (n – m +1)\n * (1 – 
)n
(1 – 
)-m
= 
m\
m! (1 –1\n) (1 – 2\n) … (1 – (m-1)\n) (1 – 
)n
(1
– 
)-m.
При достаточно большом !!n,, и сравнительно небольшом !!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.
Pn(m)
= 
m\
m! (1 – 
)n.
Учитывая
то, что n достаточно велико, правую часть
этого выражения можно рассмотреть при
n 
,
т.е. найти предел 
n
=
.
Тогда
получим Pn(m)
= 
m\m!
* 
.
-
Закон распределения вероятностей.
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
Определение.
Пусть задано вероятностное пространство
(
),
и на нём определена случайная величина
X : 
.
В частности, по определению, X является
измеримым отображением измеримого
пространства (
)
в измеримое пространство (R, 
),
где 
обозначает борелевскую сигма-алгебру
на R. Тогда случайная величина X индуцирует
вероятностную меру Px
на R следующим образом:
Px(B)
= P(X-1(B)),
.
Мера
Px
называется распределением случайной
величины X. Иными словами, Px(B)
= P(X
),
таким образом Px(B)
задаёт вероятность того, что случайная
величина попадает во множество B
.
6. Математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .
Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение
|
x1 |
x2 |
... |
xn |
|
p1 |
p2 |
... |
pn |
называется
величина 
,
если число значений случайной величины
конечно.
Если
число значений случайной величины
счетно, то 
.
При этом, если ряд в правой части равенства
расходится, то говорят, что случайная
величина x не имеет математического
ожидания.
Математическое
ожидание непрерывной случайной величины
с плотностью вероятностей px
(x)
вычисляется по формуле 
.
При этом, если интеграл в правой части
равенства расходится, то говорят, что
случайная величина x не имеет математического
ожидания.
Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то
.
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
,
.
Основные свойства математического ожидания:
-
математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;
-
математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );
-
математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.
Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
,
.
Для
определения меры разброса значений
случайной величины часто используется
среднеквадратичное
отклонение 
,
связанное
с дисперсией соотношением 
.
Основные свойства дисперсии:
-
дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx
0;
-
дисперсия константы равна нулю, Dc=0;
-
для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );
-
дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).