Задача 3.
Для изучения качества электроламп проведено выборочное обследование. В случайном порядке из партии 10000 ламп отобрано 100 штук. Получено следующее распределение по времени горения этих ламп:
|
Время горения, мин |
Число ламп |
|
До 3000 |
2 |
|
3000-3500 |
2 |
|
3500-4000 |
8 |
|
4000-4500 |
38 |
|
4500-5000 |
30 |
|
5000-5500 |
15 |
|
5500-6000 |
5 |
|
Итого |
100 |
На
основании приведенных данных вычислить:
1)
Применяя способ «моментов»: а) среднее
время горения электроламп; б) дисперсию
и среднее квадратическое отклонение.
2)
Коэффициент вариации.
Решение:
1)
Перейдем от интервального ряда к
дискретному, приняв в качестве варианты
середину интервала, т. е. полусумму
верхней и нижней границы интервала,
например,
и
т. д.
Так как ряд имеет открытые
интервалы, то недостающие границы надо
определить условно, при этом принято
считать, что первый интервал имеет такую
же длину как последующий, а последующий
– как предыдущий. Так как длины всех
интервалов равны 500, то для первого
интервала недостающая граница равна
2500 (3000 – 500) и середина
.
Так
как мы имеем ряд с равными интервалами,
то можно было найти середину только
первого интервала, а каждая последующая
середина будет отличаться от предыдущей
на длину интервала (на 500).
Расчеты
сведем в таблицу
Расчетная таблица
|
Время
горения, мин.,
|
Число
ламп,
|
Середина
интервала,
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
До 3000 |
2 |
2750 |
-3 |
2 |
-6 |
|
3000-3500 |
2 |
3250 |
-2 |
2 |
-4 |
|
3500-4000 |
8 |
3750 |
-1 |
8 |
-8 |
|
4000-4500 |
38 |
4250 |
0 |
38 |
0 |
|
4500-5000 |
30 |
4750 |
1 |
30 |
30 |
|
5000-5500 |
15 |
5250 |
2 |
15 |
30 |
|
5500-6000 |
5 |
5750 |
3 |
5 |
15 |
|
Итого |
100 |
- |
- |
100 |
57 |
,
%
Определим
так называемый «ложный ноль» – это
варианта стоящая в середине вариационного
ряда и имеющая наибольшую частоту. Для
нашего примера такой вариантой будет
,
т. к. ей соответствует частотаf=38.
Определим условные варианты
по
формуле:
,
где
–
ложный ноль;
–
длина интервала.
Результаты вычисления
приведены в гр. 4 таблицы 7.
Так как
частоты большие числа, переведем их в
проценты по формуле:
.
Для
нашего примера
.
Вычислим
.
Определим
момент первого порядка по
формуле:
.
=0,57
Определим
среднее значение признака, применяя
способ моментов:
0,57*500+4250=4535
мин
Вывод: Среднее время горения
электроламп 4535 мин.
Дисперсия (
),
или средний квадрат отклонений для
рядов распределения с равными интервалами
приводит к формуле
,
где
–
длина интервала;
–
момент первого порядка;
–
момент второго порядка;
–
ложный ноль.
Корень квадратный из
дисперсии называется средним квадратическим
отклонением:
.
Выражается
он в единицах измерения изучаемого
признака.
Определим дисперсию по формуле, представив необходимые расчеты.
Расчет дисперсии способом моментов
|
Время
горения, мин.,
|
Число
ламп,
|
Середина
интервала,
|
|
|
|
|
До 3000 |
2 |
2750 |
-3 |
-6 |
36 |
|
3000-3500 |
2 |
3250 |
-2 |
-4 |
16 |
|
3500-4000 |
8 |
3750 |
-1 |
-8 |
64 |
|
4000-4500 |
38 |
4250 |
0 |
0 |
0 |
|
4500-5000 |
30 |
4750 |
1 |
30 |
900 |
|
5000-5500 |
15 |
5250 |
2 |
30 |
900 |
|
5500-6000 |
5 |
5750 |
3 |
15 |
225 |
|
Итого |
100 |
- |
- |
57 |
2141 |
Исчислим
моменты первого и второго порядка:
.
Вычислим
(дисперсию):
500*500*(21,41-0,57)=5210000.
Среднее
квадратическое отклонение:
2)
Коэффициент вариации – относительный
показатель колеблемости, равный
процентному отношению среднего
квадратического отклонения к средней
арифметической:
=
Так
как
>
40%, то это говорит о большой колеблемости
признаков и совокупность считается
неоднородной.