Задача №7

Задача Кобба – Дугласа вычиление объёма продукции или инвестиций.

Инвестор вложил в производство R₀тыс.руб. и в течениеnлет планирует непрерывно увеличивать объем инвестиций наaтыс. руб. ежегодно. Ожидаемая доходность инвестиций составляетi%годовых.

Определите

1) современную стоимостьтакого проекта по формуле .

2)наращенную суммутакогопотока платежейпо формуле

Примечание:Современная (текущая, капитализированная) стоимостьявляется одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. Большинство аналитических методов оценки эффективности инвестиционных проектов, кредитных операций основаны именно на определении этой величины.

Наращениемилиростомденежной суммы называют процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов.

R₀=10; a=2; n=3; i=8

Решение.

1)Подставляя численные значения величин, получаем:

где использованы обозначения

1.1.Вычислим интеграл , используяметод замены переменной.

Введем новую переменную , тогда .

Для нахождения новых пределов интегрирования составим таблицу:

t	y
0	-0,08·0=0
3	-0,08·3=-0,24

В результате получаем:

1.2. Вычислим интеграл , применяяметод интегрирования по частям.

Суть метода заключается в использовании формулы .

Сравнивая интеграл I₂cэтой формулой, замечаем, что

Отсюда .

В последнем интеграле делаем замену переменных , тогда .

В результате:

Подставляем полученные выражения для u, du, v, dv в формулу интегрирования по частям, получаем

1.3.

2)

Замечание.В указанных в данном учебном пособии приложениях таблица значений функцииу=е^хдана с шагом 0,1. Если этой точности недостаточно для решения заданного Вам варианта задания необходимо использовать инженерные калькуляторы или воспользоваться микрокалькулятором с шагом менее 0,1.

Ответ:Современная стоимостьинвестиционного проекта составляет приблизительно34,35 тыс. руб., анаращеннаяза три годасуммаприблизительно равна43,667 руб.

Задача №8

Нахождение общего решения дифференциального уравнения, раскрывающего зависимость спроса и предложения товара от цены.

1. Q(p)=q₀ –q₁p(t) - зависимость спроса от цены

S(p)=s₀–s₁ p(t) - зависимость предложения от цены

q₀ =10, q₁ =2, Q(p)= 10-2p(t)

s₀ = -4, s₁=4, S(p)=-4+4p(t)

Начальная цена: p(0)=p₀=2

Дифференциальное уравнение зависимости цены от времени:

2. к(Q(p(t))-S(p(t)) ) (1), к=0,5

Подставляя численные данные, получаем:

(10-2р+4-4р),

(14-6р),

=7-3р;-7+3р=0. (2).

Начальные условия p(0)=2 (3).

Имеем задачу линейного неоднородного дифференциального уравнения Коши для первого порядка.

3. Найдём решение (2) в виде:

р=uv; р´=u´v+ u v´, т.е. ; (4)

Подставляем (4) в (2)

+3 uv-7=0;

-7=0

4. Полагаем , тогда

5. Решаем (5) =-3и; ;;

, ln│u│=-3t+ln C.

Полагаем, что С=1, тогда ln1=0 иln│u│=-3t,и=е^{- 3 t} (7)

6. Подставляя (7) в (6) получим е^{- 3 t} -7=0; => е^{- 3 t} =7;

=7 е ^{3 t} ; => ,проинтегрируем обе части уравнения,

, получимv=7*e^3t+Cилиv=e^3t+C(8)

7. Подставляя (7) и (8) в р=uv,получаем:

р= е^{- 3 t} (e^3t+C), р= е^{- 3 t} e^{3 t} + С е^{- 3 t},

р= е⁰ + С е^{- 3 t}, р= + С е^{- 3 t}

Найдём С, используя начальное условие p(0)=2 .

2 = + С е⁰, 2-=С; -=С.

p(t)= -е^{- 3 t}_.

8. Найдём равновесную цену р^*:

Q(p^*) = S(p^*); 10-2р^*=-4+4 р^*; 14=6р^*, р^*=2 .

Решение можно записать в виде

p(t)= р^* - е^{- 3 t}(*)

Примечание р₀ - р^*=2- = -,

Следовательно (*) имеет вид:

p(t)= р^*+ (р₀ -р^*) е^{- 3 t}_.