4.Операция вычитания множеств, отсутствие коммутативности и ассоциативности.

Разностью множеств А – В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В. Или, что есть то же самое, А — В = {х: х принадлежит А и х не принадлежит В}.

В не может быть подмножеством А.

Необходимо обратить внимание на то, что операция вычитания некоммутативная и неассоциативная, подобно операции вычитания чисел в арифметике. Отсутствие коммутативности очевидно: и.

Докажежем отсутсвие ассоциативности. Покажем, что (А-В)-С не равно А-(В-С). Множество, стоящее в левой части, состоит из элементов множества А, не являющизся при этом элементами ни множества В, ни множества С, т.е. совпадает со множеством А-(В U C) Множество, стоящее в правой части, состоит из элементов множества А, не являющихся при этом элементами множества В, но при этом элементы, являющиеся пересечением множеств А,В и С, входят в это множество, т.е. это множество совпадает со множетсвом А-ВU(A&B&C) .

5.Симметрическая разность, определения и свойства.

(/_\-сим.разн.)

Симметрической разностью двух множеств A и B называется сумма разностей A -B и

B - A .

Это обозначается как C = A /_\ B.

Заметим, что A/_\ B = (A UB) \ (B U A), т.к. симметричная разность состоит из тех элементов множеств A и B, которые не принадлежат A и B одновременно. Результатом является множество элементов этих множеств, принадлежащих только одному из них. Увидим, что А /_\ B=(AUB)-(A&B), так как симметрическая разность состоит из тех элементов А и В, которые не принадлежат А иВ одновременно.

Доказательство: ⇒ АΔВ⊂(А∪В)\(А∩В), ∀x, x∈(А\В)∪(В\А) → x∈A\B или х∈В\А → (х∈А и х∉В) или (х∈В и х∉А) → 1) х∈А и х∉А∩В, 2) х∈В и х∉А∩В → х∈(А∪В)\(А∩В); в обратную сторону доказывается аналогично.

Заметим, что эта операция является и коммутативной и ассоциативной.

Не знаю, что тут ещё можно написать!

6.Операция дополнения множеств, принцип двойственности.

Дополнение множества А, обозначаемое А’ — это множество элементов универсума, которые не принадлежат А. Следовательно,

А' = U - А = {х: (х принадлежит U) и (х не принадлежит А)}.

Если основное множество обозначить за S, то дополнением множества A называется разность S \ A (рис. 8). Это обозначается как CA или A с чертой сверху.

Pис. 8 Дополнение множества А

Пример. Если в качестве основного множества S рассмотреть множество всех целых чисел, а в качестве A множество четных чисел, то дополнением множества A будет множество нечетных чисел.

Сформулируем принцип двойственности.

1) дополнение объединения двух множеств равно пересечению дополнений этих множеств:

Не (A UΒ) = (не А) & (не В)

2) дополнение пересечения двух множеств равно объединению дополнений этих множеств:

Не (А & В) = (не А) U(не В)

Докажем равенство (1).

Пусть (x принадлежит (не (А UВ)), т.е. (х не принадлежит (АUB)), таким образом, х не принадлежит ни множеству А, ни множеству В, следовательно (х принадлежит (не А)) и (х принадлежит (не В)), что и означает что (х принадлежит (не А) & (не В)). И так мы доказали.

Докажем в другую сторону: ...

Аналогично докажем второе.