§ 8.3. Глобальные экстремумы функции

8.3.1. Понятие глобального экстремума функции

Рассмотрим функцию , которая задана на замкнутом множестве. Точканазывается точкойглобального максимума или наибольшим значением функции на множестве , если .

Если же , то точка называется точкойглобального минимума или наименьшим значением функции на множестве .

Точка называется точкойглобального экстремума функции на множестве, если точкаявляется глобальным минимумом или глобальным максимумом функциина множестве.

Если функция непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве , то из теоремы Вейерштрасса следует, что во множественайдутся точки глобального максимума и минимума функции.

Точки глобального экстремума функции могут быть внутренними точками множества или принадлежать границе множества. Если точка глобального экстремума является внутренней, то она является локальным экстремумом функции.Отсюда вытекает алгоритм отыскания глобальных экстремумов функции на множестве :

1. Во множестве найти все критические точки функции, а также точки, в которых функция не дифференцируема.

2. Найти все точки, в которых функция может принимать наибольшее и наименьшее значения на границе множества .

3. Вычислить значения функции в точках, найденных в пунктах 1 и 2.

4. Среди значений, найденных в пункте 3, выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Примеры

1. Найти глобальный экстремум функции на множестве.

Решение. Множество является ограниченным, таки. Из теоремы 4.9. вытекает, чтоявляется замкнутым множеством. Следовательно функцияна множествеимеет глобальный минимум и максимум. Множествопредставляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой(рис. 8.7).

Рис.8.7.

Найдем критические точки функции . Так как

, ,

то функция имеет единственную критическую точку, которая принадлежит множеству.

Исследуем функцию на отрезке ,. Подставляяв выражение для функции, получим. Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке. Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и.

Исследуем функцию на отрезке ,. Подставляяв выражение для функции, получим. Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке. Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и.

Исследуем функцию на отрезке ,. Подставляяв выражение для функции, получим

.

Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке . Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и.

В таблице 8.1 приведены значения функции во всех найденных точках.

Таблица 8.1

Из таблицы 8.1 следует, что и— точки соответственно глобального минимума и максимума функция, и

, . ●

Задачи

Найти глобальные экстремумы функции на множестве.

1. ,.

2. ,.

3. ,.

4. ,.

5. ,.

Ответы

1. ,.

2. ,.

3. ,.

4. ,.

5. ,. ▲