8.1.5. Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции — это прямые. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Среди наклонных асимптот выделяют горизонтальные асимптоты.

Прямая , параллельная оси, называется вертикальной асимптотой графика функции , если один из пределов

,

или оба равны .

Если — вертикальная асимптота графика функции , то— точка разрыва функции2-го рода. Например, график функцииимеет вертикальную асимптоту, так как

, .

Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции , еслиили.

Теорема 8.7. Прямая тогда и только тогда является наклонной асимптотой графика функции при,когда существуют

конечные пределы

, (6)

(, ).

Необходимость вытекает из следующих цепочек равенств:

—асимптота

.

.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы (6). Тогда

.

Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой графика функциипри. Аналогично рассматривается случай при. ■

Если, хотя бы один из пределов (6) не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты при.

Замечание. Из определения наклонной асимптоты следует, что разность ординат точек графика функции и асимптоты(при одном и том же значении) стремится к нулю при. Отсюда следует, что график функциинеограниченно приближается к асимптотепри. ▲

Примеры

9. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. Сначала найдем наклонную асимптоту при :

.

Теперь, используя правило Лопиталя, найдем :

.

Итак, — уравнение асимптоты графика функции при.

Аналогично находится асимптота графика функции при. ●

Схема исследования функции

1. Найти область определения функции, определить четность (нечетность) функции, найти точки пересечения с осями координат.

2. Установить наличие и характер точек разрыва, найти асимптоты графика функции.

3. Найти критические точки функции и интервалы ее возрастания и убывания. Найти экстремумы функции, и вычислить значения функции в этих точках.

4. Найти критические точки функции 2-го рода, определить интервалы выпуклости вверх и вниз. Найти точки перегиба и вычислить значение функции в этих точках.

5. Построить график функции.

Примеры

10. Построить график функции .

Решение

1. Функция определена при всех значениях . График функции пересекает осьи осьв начале координат. Функция не является четной или нечетной.

2. Точки является точкой разрыва. Так как

; ,

то является точкой разрыва 2-го рода, а прямая— вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты:

;

.

Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой графика функции прии при.

3. Найдем критические точки функции. Для этого вычислим производную данной функции:

Рис. 8.5 Рис. 8.6

.

Точки ,иявляются критическими точками функции. Знаки производной:

на множестве ; на этом множестве функция возрастает;

на множестве ; на этом множестве функция убывает.

Точка является точкой максимума, а— точка минимума. Найдем значения функции в экстремальных точках: , .

4. Вычислим вторую производную функции:

.

Точка является единственной критической точкой 2-го рода. Знаки второй производной:

на множестве — функция выпукла вверх,

на множестве — функция выпукла вниз.

На графике функции точек перегиба нет.

5. Построение графика функции следует начинать с построения асимптот и точек экстремума, указывая на графике характер экстремума («бугорок» или «впадина»). Далее отметим на графике поведение функции около наклонной асимптоты при и около вертикальной асимптоты при.

Учитывая результаты проведенного анализа в пунктах 3 и 4, соединим плавной кривой уже построенные участки графика функции (рис 8.5).

11. Построить график функции .

Решение

1. Функция определена при всех значениях . Точкииявляются точками пересечения графика функции соответственно с осямии. Функция не является четной или нечетной.

2. Функция не имеет точек разрыва. Найдем наклонные асимптоты:

.

Применяя правило Лопиталя, найдем

.

Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой графика функции при.

Найдем наклонную асимптоту графика функции при . Применяя правило Лопиталя, имеем

.

Следовательно, график функции при не имеет наклонных асимптот.

3. Найдем критические точки функции. Для этого вычислим производную данной функции:

.

Точка является критической точкой функции. Знаки производной:

на множестве ; на этом множестве функция возрастает;

на множестве ; на этом множестве функция убывает.

Точка является точкой максимума. Найдем значение функции в экстремальной точке: .

4. Вычислим вторую производную функции:

.

Точка является единственной критической точкой 2-го рода. Знаки второй производной:

на множестве — функция выпукла вверх,

на множестве — функция выпукла вниз.

Точка является точкой перегиба графика функции.

5. Построение графика функции начинаем с построения точек пересечения графика функции с осями координат, и построения точки максимума функции. Отметим поведение функции около горизонтальной асимптоты, т.е. оси, при.

Построим на графике точку перегиба и поведение функции в окрестности этой точки. Затем, учитывая результаты проведенного анализа в пунктах 3 и 4, соединим плавной кривой уже построенные участки графика функции (рис. 8.6). ●

Задачи

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. . 2.. 3.. 4.. 5..

Найти экстремумы функции:

6. . 7.. 8.. 9.. 10..

11. . 12..

13. Найти наибольшее и наименьшее значение функциина отрезке .

14. Найти разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке.

15. Участок земли состоит из прямоугольника и полукруга, построенного на одной из сторон прямоугольника. Длина границы участка равна . При каком радиусе полукруга площадь участка будет наибольшей?

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз графика функций:

16. . 17.. 18.. 19..

20. . 21.. 22..

23. Найти асимптоты графика функции

а. , б., в., г., д., е).

Построить графики функций:

24. . 25. . 26.. 27..

28.. 29.. 30.. 31..

32. . 33.. 34.. 35.. 36..

37. . 38.. 39.. 40.. 41..

42. . 43.. 44..

Ответы

1. возрастает при, убывает при.2. возрастает при, убывает при.3. убывает при, возрастает при.4. возрастает при, убывает при.5. убывает прии, возрастает при.6..7..8.,.9..10..11.,.12. экстремумов нет.13. наименьшее, наибольшее.14. наименьшее, наибольшее.15..16. кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при, — точка перегиба.17. кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при, — точка перегиба.18. кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при, — точка перегиба.19. кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при, — точки перегиба.20. кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при, точек перегиба нет.21.кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при, — точка перегиба.22. кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при, , — точки перегиба.

23а. , .б.,.в.,.г..д.,.

е..24.,;— точки пересечения с осями; кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при,— точка перегиба.25.— точки пересечения с осями;,; кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при,— точка перегиба.26.,; если , то кривая выпукла вниз , кривая выпукла вверх при , — точки перегиба.27.,; если, то кривая выпукла вниз, кривая выпукла вверх при , — точки перегиба.28.

,; кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при ,— точки перегиба.29.— точка пересечения с осью;; кривая выпукла вниз при и, кривая выпукла вверх при,— точка перегиба.30.; кривая выпукла вниз при.31., кривая выпукла вниз при;— горизонтальная асимптота.32.,, кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при,— вертикальная асимптота,— наклонная асимптота.33. точек экстремума нет, кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при,— вертикальная асимптота,— горизонтальная асимптота.34.кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при; — вертикальная асимптота.35.; кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при,— вертикальная асимптота,— горизонтальная асимптота.36. экстремумов нет, кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при ;— горизонтальная асимптота, — вертикальные асимптоты.37.,, кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при, и— точки перегиба;— горизонтальная асимптота.38.и— точки пересечения с осью;,; кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при,— точка перегиба.39.; кривая выпукла вниз при, кривая выпукла вверх при,— точки перегиба;— горизонтальная асимптота.40.; кривая выпукла вниз при , кривая выпукла вверх при.41.; кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз при,— точка перегиба;

— горизонтальная асимптота.42.,; кривая выпукла вверх при, кривая выпукла вниз прии,и— точки перегиба;— горизонтальная асимптота.43.; кривая выпукла вниз при; — вертикальная асимптота.44.,, кривая выпукла вниз при , кривая выпукла вверх при; — вертикальная асимптота,— наклонная асимптота.