8.1.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция непрерывна на отрезке , то из второй теоремы Вейерштрасса следует, что среди точек отрезканайдется точка, в которой

функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Если эти точки не совпадают с концами отрезка, то они являются точками локального экстремума и, значит, критическими точками функции (при условии, что функция имеет производную).

Если функция имеет на отрезкеконечное число критических точек, то наибольшееи наименьшеезначение функциина

отрезке находятся по формулам

,

.

Примеры

6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:,.

Решение. Функция непрерывна на отрезкеи имеет производную в каждой точке этого отрезка, кроме точки:

В точках ипроизводная функцииравна нулю. Вычислим

значения в критических точках,,и на концах отрезка:

, , .

Отсюда следует, что наименьшее значение функции на отрезкеравно, а наибольшее значение — равно. ●

8.1.4. Выпуклость функции

Дифференцируемая функция называетсявыпуклой вверх (вниз) на интервале , если график функции находится под (над) касательной, проведенной в любой точке интервала, т.е. для любой точкивыполняется условие: . Заметим, что

Рис. 8.1 Рис. 8.2

является уравнением касательной к графику функции в точке. На рис. 8.1 (8.2) функция выпукла вверх (вниз).

Теорема 8.4. Функция дифференцируема на интервале. Следующие условия равносильны.

1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .

2. Производная не возрастает (не убывает) на интервале .

Доказательство

12.Возьмем на интервале произвольные точки . Проведем

касательную к графику функции в точке. Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует

(2)

Теперь проведем касательную к графику функции в точке. Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует

. (3)

Сложим неравенства (2) и (3), и после простых преобразований получим

.

Итак, если , то, т.е. производнаяявляется невозрастающей (неубывающей) функцией.

21.Возьмем произвольную точку на интервалеи покажем, что график функции находится под (над) касательной, проведенной в точке, т.е.для любой точки. Возможны два случая: или .

Если , то, применяя теорему Лагранжа на отрезке, получим

, . (4)

Так как производная является невозрастающей (неубывающей) функцией, то изследует. Отсюда и равенства (4) имеем

.

Если же , то, применяя теорему Лагранжа на отрезке, получим

, . (5)

Так как производная является невозрастающей (неубывающей) функцией, то из неравенстваследует. Отсюда и равенства (5) имеем

. ■

Следствие. Функция дважды дифференцируема на интервале. Тогда равносильны условия.

1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .

2. Вторая производная неположительна (неотрицательна) на интервале .

Доказательство. Используя теорему 8.4 и второе утверждение теоремы 8.1, в котором роль функции играет производная, получим следующую цепочку равносильных утверждений:

функция выпукла вверх (вниз) на интервале

производная не возрастает (не убывает) на интервале

производная на интервале . ■

Примеры

1. Функция выпукла вверх на интервале, так как

.

2. Функция выпукла вниз на интервале, так как

. ●

Точка называетсяточкой перегиба графика дифференцируемой функции , если найдется такая окрестностьэтой точки, что на одном из интервалов,функция выпукла вверх, а на другом выпукла вниз.

Рис. 8.3 Рис. 8.4

На рис. 8.3 точка является точкой перегиба графика функции, а на рис. 8.4 точка— точка перегиба графика функции . Ниже эти утверждения будут доказаны.

Теорема 8.5. Функция в точкеимеет непрерывную вторую производную. Если— точка перегиба функции, то.

Доказательство теоремы проведем методом от противного, т.е. предположим, что .Тогда или.

Если , то из теоремы 4.3 следует, что найдется окрестностьточки, в которой . Отсюда и из следствия к теореме 8.3 вытекает, что в этой окрестностивыпукла вниз (вверх), т.е.не является точкой перегиба графика функции. Противоречие. ■

Функция непрерывна на отрезке. Ее первая производнаяв точкеравна 1, а вторая производнаяв этой точке равна нулю. Так как слева (справа) от точкифункция(, то из следствия к теореме 8.4 получаем, что слева от точкифункция выпукла вверх, а справа — функция выпукла вниз (рис. 8.4).

Заметим, что условие является необходимым условием наличия в точке перегиба у кривой, но не является достаточным условием, т.е. из условия не следует в общем случае, что точка — точка перегиба графика функции.

Например, вторая производная функции , равная, обращается в нуль в точке. Эта точка не является точкой перегиба, так как из условияи следствия к теореме 8.4 функциявыпукла вниз на всей числовой оси.

В точке перегиба функции функцияможет быть не определена. Рассмотрим функцию, которая определена на всей числовой прямой. Ее вторая производнаяне существует в точке. Так как на интервалефункция, а на интервале—, то на интервалефункция выпукла вниз, а на интервалефункция выпукла вверх (следствие из теоремы 8.4). Следовательно, точкаявляется точкой перегиба графика функции(рис. 8.3).

Только точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, могут быть точками перегиба графика функции . Эти точки называются критическими точками 2-го рода.

В нижеследующей теореме приводится условие, при котором критические точки 2-го рода являются точками перегиба графика функции.

Теорема 8.6. Функция имеет в окрестности точкивторую производную, кроме, возможно, самой точки . Если при переходечерез точкузнакменяется, то точка— точка перегиба графика функции.

Доказательство. Из следствия к теореме 8.4 следует, что при переходе через точкуменяется выпуклость вверх кривой на выпуклость вниз или наоборот. Отсюда следует, что—точка перегиба графика функции .■

Примеры. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости кривой :

7. , 8..

Решение

1. Функция определена на всей числовой оси. Ее вторая производная равна. Находим критические точки 2-го рода:. Эта точка разбивает область определения на два интервала: , . В первом интервале производная отрицательна, а во втором — положительна. Следовательно,является точкой перегиба кривой. Она выпукла вверх на интервале, а на интервале выпукла вниз.

8. Функция определена на всей числовой оси. Вторая производная этой функции равна. Находим критические точки 2-го рода:. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала: ,,. В первом и третьем интервалах производная положительна, а во втором — отрицательна. Следовательно,являются точками перегиба данной кривой. Она выпукла вверх на интервале, а на интервалахивыпукла вниз.