1.6. Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности

Если на каком-то потребительском наборе (x₁, x₂), бюджетное ограничение будет выполняться в виде строго равенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор, максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, то есть. Графически это означает, что решениезадачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рис. 7), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукти.

Рис. 8. Геометрическая интерпретация к определению

функции спроса исходя из модели поведения потребителя

Следовательно, при графическом решении задачи максимизации полезности, будем решать задачу вида:

Для построения графиков выполняем следующие шаги.

1. Строим бюджетную прямую , на графике это прямаяAB, которая проходит через точки и;

2. Строим кривые безразличия .

3. Определяем точку на бюджетной прямойAB, в которой кривая безразличия касается ее и получает в этой точке максимально возможное значение C*.

В случае строгой вогнутости такая точка всегда единственна и совпадает с точкой касания кривой безразличияс бюджетной прямой.

Выводы.

1. Треугольник AOB–ограничение множества выборов потребителя (бюджетное множество; бюджетное ограничение).

2. Точка - точка касания кривой безразличия и бюджетной прямой есть оптимальное решение задачи.

3. Линии AB и A₁B₁ соответствует одному и тому же размеру дохода, но разным ценам на товары x₁ и x₂.

4. Линия A₂B₂ (A₂B₂//AB) соответствует большему размеру дохода.

Пример 8. Найти геометрическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезности при наличии бюджетных ограничений:

,

, , ,

если ,.

Решение.

1. Из при p₁ = 1, p₂ = 3 и J = 5 получаем:

–это бюджетная прямая.

Запишем ее уравнение в отрезках .

2. Построим на системе координат (см. на рис. 9)

а) бюджетную прямую АВ;

б) кривую безразличия , то есть.

Рис. 9. Графическое решение примера 7

3. Решим систему уравнений графически

, ,–гипербола.

1) при С = 1; 2) при ;

3) при .

Ответ: x₁  2; x₂  1.

1.7. Аналитическое решение задачи максимизации полезности

Задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум

(22)

при условии

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.

Выписываем функцию Лагранжа

, (23)

где  - неопределенный множитель Лагранжа.

Экономический смысл этого множителя: если цены p_i и доход J меняются в одно и то же число раз , то функция полезности, а значит, и решение задачи потребительского выбора не изменится.

Далее находим ее первые частные производные по переменным x₁, x₂ и , приравниваем эти частные производные к нулю:

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную (разделив поэлементно первое уравнение на второе), получим систему двух уравнений с двумя неизвестнымиx₁и x₂:

Решение этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставим решениев левую часть равенства

.

Получим, что в точке локального рыночного равновесия индивидуума отношениепредельных полезностейипродуктов равно отношению рыночных ценp₁и p₂на эти продукты:

. (24)

В связи с тем, что отношение равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия, из (24) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных ценна продукты. Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.

А именно,

; , (25)

то есть отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений кобъемов продуктов в локальном рыночном равновесииприближенно равно отношению рыночных ценp₁ и p₂на продукты.

Равенство (25) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, то есть набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.

Пример 9.Найти аналитическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезностипри наличии бюджетного ограничения , если иJ=5.

Решение.

Известны:

Требуется найти значения .