1.5. Модель поведения потребителя

Функция индивидуального спроса в условиях совершенной конкуренции определяется из решения специальной оптимизационной задачи, которая называется моделью поведения потребителя. Эта модель основывается на допущении: выбор возможного набора благ потребитель осуществляет из условия максимизации индивидуальной функции полезности при выполнении бюджетного ограничения. Другими словами, задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезностипри заданном бюджетном ограниченииJ.

Вектор должен являться решением задачи максимизации функции полезности(функции цели) при системе ограничений: бюджетного ограничения;,, гдеэто вектор цен,это вектор товаров.

Итак, имеем модель задачи:

1. Переменные ,- вектор товаров; (11)

2. Целевая функция: ; (12)

3. Система ограничений:

(13)

При совершенной конкуренции определяется условиями на рассматриваемом рынке, на котором потребитель не оказывает влияние на уровень цен, то есть

величина – величина заданная (постоянная);

–скалярное произведение векторов и;

J – бюджетная сумма или доход потребителя (величина заданная).

Ограничение называютбюджетным ограничением. Оно означает, что денежные расходы на товары не могут превышать денежного доходаJ.

Оптимальным решением поставленной задачи называется такой вектор , при котором.

С экономической точки зрения важно подчеркнуть следующее: потребитель заинтересован в знании решения задачи

при ,,

при всевозможных ценах и бюджете (доходе)J.

Это означает, что хотя в данной задаче иJследует считать фиксированными параметрами, их конкретизация до определенных числовых величин нецелесообразна. Интерес представляет исследование влияния параметровиJна поведение функции спроса. Поэтому оптимальный вектор– решение задачипри,,оказывается зависящим от параметровиJ, то естьявляется функцией цен и дохода:

. (14)

Это оптимальное решение задачи (11 – 13) называетсяфункцией спроса потребителя.

Функция ,называется функцией спроса потребителя на благоi.

При фиксированных ценах p₁,…, p_i,… p_n и заданном доходе J оптимальное потребление определяется компонентами решениязадачи (11 – 13).

Для вычисления значений ,воспользуемсяметодом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа для нашей задачи:

,

где – множитель Лагранжа. Выпишем необходимые условия оптимальности, которые благодаря условиям,будут и достаточными:

(15) (16) (17) (18)

Система (15– 18) разрешима относительно (n+1) неизвестных x₁,… ,x_i,…, x_n, , так как имеется (n+1) уравнений.

Таким образом, функция спроса представляет собой вектор-функцию (n+1) аргументов (в общем случае n цен: p₁,…, p_i,… p_n и дохода J), состоящую из n компонент: . Тогда функция спроса – это наборn функций, каждая из которых состоит из (n+1) аргументов:

(19)

Функции (19) называется функциями спроса соответствующих товаров.

Выводы.

1. Индивидуальная функция спроса потребителя является решением задачи максимизации полезности, параметрически зависящим от экзогенно заданных цен и бюджета. В силу непрерывно меняющихся условий на рынке благ и труда, потребитель должен приспосабливаться и решать задачу максимизации полезности при изменяющихся ценах и бюджете. Этим и обуславливается зависимость решения задачи максимизации от бюджета и рыночных цен.

2. Все переменные и частные производные системы (15 – 18) вычисляются в точке . Значение, соответствующее (в силу уравнений (15) и (16)) точке, обозначим. Для парыиз (15) получаем

, . (20)

Отсюда следует важный вывод о том, что в условиях оптимального потребления (то есть в условиях набора ) отношение предельной полезности к цене одинаково для всех товаров.

Исходя из (20) оптимальный множитель Лагранжа интерпретируется как предельная полезность одной единицы цены или просто предельная полезность денег.

3. Поэтому равенство

означает, что предельная полезность одной единицы денег одинакова для каждого товара, и именно при таком распределении бюджета потребитель получает максимум полезности.

4. Из равенства (20) следует так же вывод о том, что цены должны определяться исходя из предельной полезности товаров и денег:

, .

5. Так как (следует из (15)), то из (16) получаем:

.

Последнее означает, что точка максимума задачи (11) - (13) лежит на бюджетной линии (см. рис. 7).

Рис. 7. Решение задачи потребителя

В случае двух товаров имеем (см. рис. 7):

6. Наклон бюджетной линии равен .

7. Наклон кривой безразличия находится из выражения, то есть

и составляет

.

Так как в точке касания наклон кривой безразличия равен наклону бюджетной линии, то

или

. (21)

8. Как видно из (20), и в частности, из (21),

то есть в оптимальном наборе товаров предельная норма замещения товараi товаром j оценивается отношением их цен (то есть зависит исключительно от их цен).

Как показывает рис. 7, оптимальное решение задачи (11) -(13) геометрически является точкой касания кривой безразличия и бюджетной линии. Для строго вогнутой функции полезности такая точка касания единственна.