Предисловие

«Математическая экономика» это математическая дисциплина, предметом которой являются модели экономических объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы этой дисциплины удобно и принято излагать в тесной связи с их экономическим происхождением, интерпретацией и практическим приложениями. Особенно существенна связь с экономической наукой и практикой.

Целью математической экономики является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений. Для составленных моделей математические методы позволяют четко, просто, строго и обобщенно формулировать ключевые теоретические положения и делать на их основе практические выводы.

Наряду с простейшими геометрическими методами в рамках математической экономики применяются методы интегрального и дифференциального исчисления, матричной алгебры, математического программирования, прочие вычислительные методы, составляются и решаются рекуррентные и дифференциальные уравнения.

Данный конспект лекций по дисциплине «Математическая экономика» содержит краткое изложение основных теоретических разделов курса, соответствующих программе дисциплины.

1.Модельповедения потребителя

1. Предпочтения потребителей

В теории потребления потребителями называются отдельные лица или группы лиц с общим доходом, расходуемым на потребление товаров и услуг. Целью (предметом) теории потребления является изучение поведения отдельного потребителя с точки зрения рационального распределения его личностного бюджета J. Основу теории потребления составляет модель поведения потребителя, которая позволяет получить индивидуальную функцию спроса потребителя, зависящую от рыночных цен и бюджета (дохода)J. Индивидуальная функция потребителя позволяет решить вопрос о том, какое количество каждого наличного товара он должен приобрести при заданных ценах и известном доходеJ.

Для получения математической модели задачи потребителя необходимо формализовать такие понятия, как товар, цель потребления товаров, цена товара, бюджет и покупательская способность потребителя.

Будем предполагать, что количество каждого товара можно измерять вещественным неотрицательным числом (в штуках, в килограммах, в метрах, в литрах, в человеко-часах и т.д.). Пусть на рынке производится и продается n видов товаров. Вид товара будем обозначать индексом i, так что i = 1,…, n. Обозначим через количествоi-го товара. Вектор будем называтьнабором товаров. Если в наборе для некоторыхi x_i = 0, то будем говорить, что товар вида i не приобретается данным потребителем. Поэтому множество будем называтьпространством товаров. Заметим, что на количество товаров не накладываются ограничения сверху. Иначе говоря, мы предполагаем, что на рынке существует достаточное количество товаров. Иногда в выделяется некоторое подмножествоХ, как множество реально применяемых товаров, на котором определены интересы данного потребителя. В наборы товаров можно складывать между собой или умножать на неотрицательное число; ввычитание невозможно, если при этом получается отрицательное количество товара. Человек приобретает (покупает) товары с целью максимального удовлетворения своих потребностей. У каждого есть свои вкусы, каждый по своему оценивает пользу или вред от потребления товара. Поэтому потребитель стремится выбрать в пространстве«лучший» с его индивидуальной точки зрения товар. При сравнении двух наборови одни предпочтут, другие.

Для того чтобы формализовать выбор потребителя с учетом его цели, в пространстве определим (индивидуальное)отношение предпочтения, обозначаемое символом . При помощи этого отношения любой наборможно сравнить с другим набором. Записьозначает, что либопредпочтительнее чем , либо наборы и для потребителя безразличны (то есть по крайней мере так же хорош, как и ). Заметим, что в отношении набор товаров рассматривается как одно целое (в отличие от векторного неравенства, понимаемого покомпонентно).

Строгое предпочтение имеет место, если и только если, анесправедливо. Говорят, что наборыи безразличны для данного потребителя (обозначают ) тогда и только тогда, когдаи. Индивидуальное отношение ~ можно рассматривать как отображение, которое каждому наборуставит в соответствие множество всех тех наборов товаров, которые связаны сотношением безразличия. Таким образом, отношение безразличия разбивает все пространствона классы эквивалентности (безразличия).

Исходя из логики сравнения товаров, потребуем, чтобы отношение удовлетворяло следующим аксиомам:

а.1) рефлексивность: для любого справедливо;

а.2) транзитивность: для любого , таких, что,справедливо;

а.3) полнота: для любых либо, либо, либо.

Кроме того, для отношения безразличия должна иметь место аксиома симметричности: из следует.

Приведем примеры конкретных отношений предпочтения и безразличия.

Пример 1. Для сравнения любых наборов предварительно проведем ранжировку (упорядочение) компонентов этих векторов (то есть видов товаров) по важности для данного потребителя: товар видаi важнее, чем товар вида i + 1, i = 1, …, n-1. После этого определим отношение следующим образом:, если выполнено одно изn + 1 условий:

1) ;

2) ,;

………………………

n) ,…,,;

n+1) ,……………,.

Такое отношение называется лексикографическим предпочтением, так как оно определено по правилу составления списка наименований по алфавиту. Самостоятельно покажите, что отношение лексикографического предпочтения удовлетворяет аксиомам а.1), а.2), а.3).

Пример 2. Пусть , а, - такой набор, что для каждогонайдется хотя бы один индексi, для которого x_i>y_i. Для такого набора определим отношение безразличия следующим образом:, если не имеет местодля всехi = 1, …, n, причем хотя бы одно неравенство строгое. Это отношение безразличия порождает в Х множество эквивалентности , называемоемножеством Парето.

Отношение предпочтения на практике выявляется экспериментальным путем, сравнивая наборы товаров попарно и спрашивая потребителя, какой набор он предпочитает. Реально такую работу можно провести в случае небольшого числа товаров. Предпочтение потребителя изменчиво и зависит от многих условий: цен товара, его дохода, имеющегося у него запаса товаров, сезона, состояния здоровья, настроения и т.д. Поэтому нельзя раз и навсегда закрепить за потребителем неизменные принципы предпочтения. Следовательно, при повторном моделировании поведения потребителя его предпочтение нужно формализовать заново «с учетом изменившихся условий». В принципе нет ничего сложного в том, чтобы взять два набора товаров и спросить потребителя, который из них он предпочитает, и в результате последовательного опроса найти искомую закономерность. Гораздо сложнее выявить предпочтение целой группы людей или общества, так как невозможно по каждой паре наборов товаров проводить голосование или референдум и ожидать, что результаты будут однозначными.