4.3. Продуктивные модели Леонтьева

Матрица A, все элементы которой неотрицательны, называетсяпродуктивной, если для любого векторас неотрицательными компонентами существует решение уравнения вектор, все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (57) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

Теорема.Если для матрицыAс неотрицательными элементами и некоторого векторас неотрицательными компонентами уравнение(57) имеет решениес неотрицательными компонентами, то матрицаAпродуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (57) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрицаAбыла продуктивной. Перепишем систему (57) с использованием единичной матрицыEв виде

. (58)

Если существует обратная матрица то существует и единственное решение уравнения (58):

(59)

Матрица называется матрицейполных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. МатрицаAпродуктивна тогда и только тогда, когда матрицасуществует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. МатрицаAс неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

,

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на примерах.

Пример 14.

В таблице 2 приведены данные по балансу за некоторый период между пятью отраслями промышленности.

Найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной в соответствии с приведенными выше критериями.

Таблица 2

Данные по балансу

№	Отрасль	Потребление xij					Конечный продукт yi	Валовой выпуск xi
		1	2	3	4	5
1	Станкостроение	15	12	24	23	16	10	100
2	Энергетика	10	3	35	15	7	30	100
3	Машиностроение	10	5	10	10	10	5	50
4	Автомобильная промышленность	10	5	10	5	5	15	50
5	Добыча и переработка углеводородов	7	15	15	10	3	50	100

Решение.

Данные в таблице 2 приведены в соответствии с соотношениями (52): первые пять столбцов,- шестой столбец,- последний столбец (i,j=1, 2, 3, 4, 5).

Согласно используемым обозначениям,

, ,.

Все элементы матрицы A положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах больше единицы. Следовательно, условия второго критерия продуктивности не соблюдены, и матрица A не является продуктивной.

Экономическая причина этой непродуктивности заключается в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слишком велико в соотношении с их валовым выпуском.

Пример 15.

Таблица 3 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Требуется найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30.

Таблица 3

Данные по балансу

№ п/п	Отрасль	Потребление			Конечный продукт	Валовой выпуск
		1	2	3
1	Добыча и переработка углеводородов	5	35	20	40	100
2	Энергетика	10	10	20	60	100
3	Машиностроение	20	10	10	10	50

Решение.

Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления:

, ,

Согласно формулам вычислим:

;

;

.

В результате получаем матрицу коэффициентов прямых затрат:

.

Требования: неотрицателен;неотрицателен;A– из неотрицательных элементов – выполнены.

Если существует , то существует и единственное решение уравнения

Матрица есть матрица полных затрат.

1) Матрица Aпродуктивна тогда и только тогда, когда матрицасуществует и ее элементы неотрицательны.

2) Матрица Aс неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:, причем, хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго < 1.

Вывод.Все условия выполнены. МатрицаAудовлетворяет критериям продуктивности.

Новый вектор конечного продукта должен иметь вид:

.

Компоненты неизвестногонаходятся из системы уравнений, которая, согласно (59), имеет вид:

или

; ;.

.

Выводы.Чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта сдо, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов со 100 до 152,14, то есть на 52,14%, уровень энергетики со 100 до 135,8, то есть на 35,8%, выпуск машиностроения с 50 до 92,51, то есть на 85,02%.