4.2. Линейная модель многоотраслевой экономики

На основании анализа экономики США в период перед Второй мировой войной В. Леонтьевым был установлен важный факт: в течение длительного времени величины - коэффициенты прямых затрат – меняются очень незначительно и потому могут рассматриваться как постоянные числа. (Технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объём потребления j–й отраслью продукции i–й отрасли при производстве своей продукции в объеме единиц есть технологическая константа).

, , (53)

это коэффициенты прямых затрат. Показывают затраты продукции i–й отрасли на производство единицы продукций j–й отрасли.

Допущение. Для производства продукции j-й отрасли в объёме единиц нужно использовать продукциюi-ой отрасли объема гдепостоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называетсягипотезой линейности.

Согласно гипотезе линейности:

. (54)

Тогда уравнения (52) можно переписать в виде системы уравнений:

(55)

Введем в рассмотрение соответственно - вектор-столбец объемов производственной продукции (вектор валового выпуска); вектор-столбец объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления); матрицу коэффициентов прямых затрат (технологическую или структурную матрицу):

; ; (56)

Тогда система уравнений (55) в матричной форме примет вид:

(57)

Соотношение (57) называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса (57) можно использовать в двух целях, а именно:

• с одной стороны, определение валового выпуска отраслей по заданному конечному спросуи известных технологических возможностях, то есть расходных коэффициентах;

• с другой стороны, решение обратной задачи, то есть определение объемов конечного спроса ,на каждыйi-й продукт по известному валовому выпуску,.

Рассмотрим достижение первой цели.

Известен вектор объемов валового выпуска . Требуется вычислить вектор объемов конечного потребления

Приведем постановку и решение этой задачи в общем виде.

1. Имеем уравнение

2. Получаем решение .

Рассмотрим решение этой задачи на конкретном примере.

Пример 13. Пусть векторвыпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребленияAприn=3имеют соответственно вид

,

Требуется вычислить вектор объемов конечного потребления

Решение.

;.

Далее,

Ответ:, то есть объемы конечного продукта составляют для: первой отрасли – 110 ед.;

второй отрасли – 40 ед.;

третьей отрасли – 60 ед.

Рассмотрим достижение цели второй.

Для периода T(например, год) известен вектор конечного потребленияи матрица коэффициентов прямых затратA. Требуется определить вектор валового выпуска.

Решение этой задачи в общем виде:

1.

2.

Однако, система (57) в силу прикладного характера данной задачи имеет особенности: все элементы матрицы A, и векторовидолжны быть неотрицательными.