P = κε0 E = σ'. |
(5.4) |
|
E' = |
κε0 E = κE. |
|
занного заряда. С учетом этого |
ε0 |
|
Подставим (5.4) в (5.2): |
|
|
Подставим полученное выражение в (5.1):
E = E0 − κE,
т.е. (1 + κ)E = E0 . Отсюда
E = Eε0 .
Следовательно, диэлектрическая проницаемость ε >1 показывает во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле.
С учетом (5.5):
D = εε |
E = εε |
|
E0 |
|
= ε |
|
E |
|
= D . |
|
ε |
|
|
||||||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
||
|
D = D0 . |
|
|
|
|
(5.6) |
|||
Силовые линии вектора электрической индукции непрерывны в диэлектрике, т.е. они начинаются и заканчиваются на свободных зарядах.
В общем случае формулы (5.5) и (5.6) верны только тогда, когда диэлектрик заполняет пространство, ограниченное эквипотенциальными поверхностями.
Можно показать, что в общем случае на границе раздела диэлектрика и вакуума для нормальных составляющих выполняются условия:
Dn = D0n , En = Eε0n .
σ+
E
D
(5.5)
σ−
σ′− σ′+
E E'
E0
τ n
Силовые линии E Силовые линии D
Рис. 40
Для тангенциальных составляющих на границе раздела диэлектрика и вакуума выполняются условия: Eτ = Eτ0 , Dτ = ε Dτ0 .
Силовые линии вектора D идут непрерывно, силовые линии вектора E терпят разрыв (рис. 40).
6.ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ВЕКТОРА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
При наличии диэлектрика электрическое поле создается как свободными, так и связанными зарядами, поэтому теорема Гаусса принимает вид
27
∫ |
En dS = |
1 |
′ |
(6.1) |
ε0 |
(q + q ) , |
|||
S |
|
|
|
где q , q′ – соответственно свободный и связанный заряды в объеме V ,
заключенном внутри произвольной поверхности S (рис. 41). Теорема в таком виде неудобна для применения из-за наличия в ней связанных зарядов q′. Но их можно исключить из равенства (6.1).
|
|
|
На рис. 41 и 42 показан элемент |
dS по- |
|||||
S |
|
dS |
верхности |
S с внешней нормалью |
nr |
и на- |
|||
V |
l |
правление |
электрического поля Er. |
Ограни- |
|||||
r |
чимся рассмотрением диэлектрика с неполяр- |
||||||||
|
l dV nr |
E |
|||||||
|
ными молекулами. Для простоты считаем, что |
||||||||
|
Рис. 41 |
|
при поляризации у каждой молекулы смеща- |
||||||
|
|
ется только положительный заряд q0 . Тогда |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
при поляризации пересекут площадку |
dS все |
|||||
|
|
|
положительные заряды, находящиеся в слое на |
||||||
|
|
|
расстоянии длины диполя l от dS. Объем, |
ко- |
|||||
|
l |
P |
торый они покинули, равен dV =ldS cosα. Он |
||||||
|
показан на рис. 41 и в увеличенном виде на |
||||||||
|
α E |
||||||||
−−q0 pl +q0 |
рис. 42. |
|
|
|
|
|
|||
n |
Если концентрация молекул в этом объеме |
||||||||
dV |
dS |
равна n , то вышедший из объема V через dS |
|||||||
|
|||||||||
|
заряд равен dq = q0 ndV = q0 nldS cos α. Учиты- |
||||||||
l |
|
|
|||||||
|
|
вая, что q0l = pl |
– момент диполя, pl n = P – |
||||||
|
Рис. 42 |
|
модуль вектора |
поляризации, P cos α = Pn |
– |
||||
проекция этого вектора на направление нормали n , получаем dq = Pn dS . Следовательно, внутри V останется неском-
пенсированный связанный заряд dq′ = −Pn dS . Полный нескомпенсиро-
ванный связанный заряд, образовавшийся внутри V вследствие поляризации, выражается так:
q′ = −∫Pn dS. |
(6.2) |
S |
|
Это равенство представляет собой теорему Гаусса для вектора поляризации: поток вектора поляризации через произвольную замкнутую поверхность S , взятый со знаком «–», равен алгебраической сумме связанных зарядов, заключенных внутри этой поверхности. Подставив (6.2) в (6.1) и объединив поверхностные интегралы, получаем
∫(ε0 En + Pn )dS = q.
S
28
Учитывая, что ε0 E + P = D – вектор электрической индукции, приходим к равенству
∫Dn dS = q. |
(6.3) |
S |
|
Это равенство представляет собой теорему Гаусса для вектора электрической индукции (вектора электрического смещения): поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, заключенных внутри этой поверхности.
Учитывая, что D = εε0 E и что в однородной среде ε одинакова во
всех точках, теорему Гаусса для однородной среды можно записать в виде
S∫En dS = εε10 q.
Пусть свободные заряды распределены по пространству с объемной плотностью ρ = dVdq . Тогда в элементарном объеме dV находится заряд
dq = ρdV . В этом случае теорему Гаусса (6.3) удобно представить в виде
∫Dn dS = ∫ρdV ,
S V
где V – объем, заключенный внутри замкнутой поверхности S .
7. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 7.1. Емкость уединенного проводника
Основными являются следующие типы проводников: металлы, электролиты, плазма.
Остановимся более подробно на металлах. Число свободных носителей заряда (электронов) в металлах n~1022 см3, что составляет примерно один свободный электрон на один атом.
Рассмотрим заряженный проводник или незаряженный проводник, находящийся в электростатическом поле (рис. 43). В состоянии равновесия E = 0 внутри проводника. Если Е ≠ 0, то свободные носители заряда придут в движение, пока E не станет равно 0. Из связи разности потенциалов с напряженностью поля следует:
ϕ1 − ϕ2 = ∫El dl = 0 → ϕ1 = ϕ2 ,
l
где 1 и 2 – две произвольные точки проводника, т.е. в равновесии все точки проводника эквипотенциальны.
29