4.3. Поле бесконечной равномерно заряженной

ной цилиндрической поверхности

введем линейную плотность заря-

R

nr

да: λ =

dq

= const ,

Кл

, где

dq –

E

dl

м

заряд на элементе длины dl

ци-

r

линдра. Примем λ

> 0 для опре-

l

деленности.

n

E

Из симметрии следует, что в

точках, равноотстоящих от оси,

свойства поля одинаковы. ЭПП

должны иметь вид цилиндриче-

ских поверхностей, соосных с

нашей. Силовые линии должны

идти радиально, перпендикулярно

(r > R)

оси цилиндра.

Рис. 25

В качестве

произвольной

S

S0

q

λl

Sb

Sb

По теореме Гаусса ΦE

=

=

.

ε

0

ε

0

Приравняв два полученных выражения, получим

λl

= E2πrl, откуда

ε0

E =

λ

.

2πrε0

Для расчета разности потен-

циалов возьмем две произволь-

R

r

ные точки 1 и 2 (рис. 26). Через

эти точки построим цилиндриче-

r

n

E

ские поверхности

радиуса r

и

1

1

1

r2

r2 . Рассчитывая разность потен-

2'

n E

циалов как линейный интеграл

от напряженности

электроста-

2

тического поля, учтем, что ре-

зультат интегрирования не зави-

сит от пути, по которому произ-

водится интегрирование. Следо-

вательно можно выбрать любой

удобный путь. Таким путем, на-

Рис. 26

пример, может быть путь от точ-

ки 1 до 2' по прямой в радиаль-

2'

2

r2

r2

λln

r2

λ

r

ϕ1 −ϕ2 = ∫El dl = ∫El dl + ∫El dl = ∫

Er dr

+ 0 = ∫

dr =

1

.

2πε0r

l

1

2'

r

r

2πε0

Таким образом,

1

1

ϕ −ϕ

2

=

λ

ln

r2

,

1

2πε0

r1

где λ следует брать с учетом

ее знака.

2. Поле внутри равномерно заряженной цилиндрической поверхно-

сти

Рассмотрим случай r < R . Как и ранее,

ΦE = 2πrlE

(вывод см. вы-

ше).