Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Физика

Файл:

ФИЗИКА - Конспекты лекций, пособия / ФИЗИКА - Электростатика. Конспект лекций.pdf

Скачиваний:

311

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

541.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Докажем, что в этом случае поток равен нулю.

Замкнутую

поверхность

произвольной

формы разделим на две поверхности S1 и S2. Си-

ловые линии пересекают поверхность S1 под ту-

пым углом, а поверхность S2 – под острым уг-

лом. При этом обе поверхности S1 и S2 видны из

nr S1

точки расположения заряда под одним и тем же

телесным углом. Поток напряженности через

Рис. 15

поверхность S

= Ф

+Ф

= −

Ω +

= 0,

E 2

4πε0

так как Ω1 =Ω2.

3. ТЕОРЕМА ГАУССА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Теорема: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на

ε0 .

qm+1 q1

S qm

Рис. 16

Рассмотрим систему N точечных зарядов и

Sнекоторую замкнутую поверхность S (рис. 16). Пронумеруем все заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности, от 1 до m. Заряды с индексами от m+1 до N находятся вне этой поверхности. Поток напряженности через поверхность S

ΦE = ∫EndS = ∫EnrdS,

S S

где E – напряженность поля, создаваемого системой N точечных зарядов.

		r	N	r
По принципу суперпозиции E = ∑Ei .					Следовательно,
N r r	m	r r	i=1	N	r r	m	q			1	m
								i +0	=
ΦE = ∫(∑Ei )ndS = ∑		∫Ei ndS +		∑	∫Ei ndS = ∑						∑qi .
S i=1	i=1 S		i=m+1 S			i=1	ε0			ε0 i=1

Что и требовалось доказать.

В случае непрерывно распределенного заряда в объеме V можно

ввести понятие объемной плотности заряда ρ =			dq	,	Кл	, где dq – заряд
ввести понятие объемной плотности заряда ρ =				,	м3	, где dq – заряд
в элементарном объеме dV.			dV		м3
в элементарном объеме dV.
Так как dq = ρ dV , в рассматриваемом объеме V
	q = ∫ρdV .
	V
В этом случае теорема Гаусса может быть записана в виде
∫	Ends = 1 ∫ρdV ,
S	ε	0 V
S		0 V

где V − объем, заключенный внутри поверхности S .

В главе 4 теорема Гаусса применяется для определения напряженности поля некоторых заряженных тел простой геометрической формы.

4.РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

4.1.Поле сферической поверхности

1. Поле вне равномерно заряженного шара, равномерно заряженной сферической поверхности

Пусть q – заряд шара (сферической поверхности) радиуса R. Возьмем q > 0 для определенности.

Так как поле является центрально-симметричным, то во всех точках, равноотстоящих от центра шара (сферической поверхности), свойства поля одинаковы: E =constи ϕ= const.

Следовательно, эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в точке О. Из ортогональности СЛ и ЭПП следует, что силовые линии имеют радиальное направление относительно центра.

В качестве произвольной замкнутой поверх-									r
ности возьмем сферу радиуса r, при этом r >R									r
ности возьмем сферу радиуса r, при этом r >R
(рис. 17). Поток E через замкнутую сферическую								O	n E
поверхность: ΦE = ∫En dS. Во всех точках сфе-								O	n E
						S
рической поверхности радиуса r: En = E = const.								R
Следовательно,						ΦE = ES = E4πr2.	По теореме	R
Гаусса ΦE	=			q		. Приравняем два	полученных	Рис. 17
				q

			ε		0
		q			0
выражения:		q		= E 4πr2.
выражения:				= E 4πr2.
		ε0

Таким образом, E =

В векторном виде эта формула прини-

4πε0r2

мает вид

E =

4πε0

где E − напряженность поля вне заряженного шара (сферической поверхности).

Для расчета разности потенциалов возьмем две произвольные точки 1 и 2, через которые построим две сферические поверхности радиуса r1

и r2 с центром в точке О. Рассчитывая разность потенциалов, как ли-

нейный интеграл от напряженности электростатического поля, учтем, что результат интегрирования не зависит от пути, по которому производится интегрирование. Следовательно, мы можем выбрать любой удобный для нас путь. Таким путем, например, может быть путь от точки 1 до 1' по сферической поверхности радиуса r1, затем из точки 1' до точки

2 в радиальном направлении (рис. 18). Тогда

ϕ1 − ϕ2 = ∫El dl = ∫El dl + ∫El dl =

0 + ∫Er dr =

−

∫

r 2

4πε0

4πε0 r1

На участке 1→1' E dl , следовательно,

El = 0 .

Устремим точку 2 в бесконечность, тогда

r1 = r ; ϕ1 = ϕ; ϕ2 = 0 .

Таким образом,

ϕ =

4πε0r

Рис. 18

где ϕ − потенциал

заряженного шара

поля вне

(сферической поверхности).

2. Поле внутри заряженной сферической поверхности

Поток

через замкнутую сферическую поверхность S

радиуса

r < R (рис. 19)

ΦE = ∫EndS = E∫dS = E4πr2.

По теореме Гаусса: ΦE =

Следовательно, E 4πr2 = 0, откуда получаем, E = 0.

Таким образом, поле внутри равномерно заряженной сферической поверхности отсутствует, и разность потенциалов между любыми двумя точками равна нулю:

ϕ1 −ϕ2 = ∫El dl = 0	ϕ1 = ϕ2
l

Графическое представление поля сферической поверхности показано на рис. 20 и 21.

Рис. 19

R	r	R
		r
Рис. 20		Рис. 21

4.2. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Для характеристики заряженной плоскости введем понятие поверхностной плотности заряда: σ = dSdq , Кл/м2, где dq − заряд, находящийся

на элементарной площадке dS .

Будем считать, что поверхностная плотность заряда постоянна и положительна (для определенности).

Поле обладает симметрией: во всех точках, равноотстоящих от заряженной плоскости, свойства поля одинаковы, т. е. одинаковы потенциал и напряженность поля. Поэтому ЭПП имеют вид плоскостей, параллельных заряженной плоскости. Из ортогональности силовых линий и ЭПП следует, что силовые линии перпендикулярны заряженной плос-

кости.		E		r
В качестве произвольной замк-		E		E
нутой поверхности рассмотрим ци-		S0	r	r
линдрическую поверхность	в виде	Sb	n	E
прямого цилиндра одинаковой дли-		E n		n E
ны слева и справа от бесконечной		l	l
заряженной плоскости. Ось цилинд-		l	l
ра параллельна силовым	линиям
(рис. 22). Площадь основания ци-

линдра −	S0 , площадь боковой по-	Рис. 22

верхности цилиндра − Sb .

Поток через замкнутую цилиндрическую поверхность

ΦE = ∫EndS + 2 ∫EndS = 0 + 2E ∫dS = 2ES0 .

σS0

σS0 .

По теореме Гаусса ΦE =

, следовательно, 2ES0

Отсюда получаем

E =

− const. Поле однородно.

2ε0

				Для расчета разности потенциалов возьмем
		r		две произвольные точки 1 и 2 (рис. 23). Напра-
		r		вим ось x перпендикулярно заряженной плоско-
		E		вим ось x перпендикулярно заряженной плоско-
		E		сти. Рассчитывая разность потенциалов как ли-
		1'	2	сти. Рассчитывая разность потенциалов как ли-
		1'	2	нейный интеграл от напряженности электроста-
				тического поля, учтем, что результат интегри-
	1			рования не зависит от пути, по которому оно
				производится. Следовательно, можно выбрать
o	x1	x2	x	любой удобный путь. Таким путем, например,
				может быть путь от точки 1 до 1' по прямой,
				параллельной заряженной плоскости, т.е. вдоль
	Рис. 23			ЭПП, затем из точки 1' до точки 2 в направле-
				нии, параллельном оси x (рис. 23). Тогда

ϕ1 − ϕ2 = ∫El dl = ∫El dl + ∫El dl = 0 + ∫

Exdx =

∫dx =

(x2

− x1).

2ε0

2ε0 x

Таким образом,

ϕ −ϕ

− x ),

2ε0

где σ следует брать с учетом ее знака.

Поле двух параллельных равномерно разноименно заряженных бесконечных плоскостей

Введем обозначения: σ+ и σ− − поверхностная плотность положительно и отрицательно заряженных плоскостей; E+ − напряженность поля, создаваемая положительно заряженной плоскостью; E− − напряженность поля, создаваемая отрицательно заряженной плоскостью.

Пусть σ+ = σ− = σ = const . Тогда

E+ = E− = 2σε0 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ФИЗИКА - Конспекты лекций, пособия

#
15.03.2015466.38 Кб919ФИЗИКА - Механика. Конспект лекций.pdf
#
15.03.20154.02 Mб251ФИЗИКА - Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие.pdf
#
15.03.2015585.73 Кб186ФИЗИКА - Обработка результатов измерений. Конспект лекций.doc
#
15.03.2015454.39 Кб296ФИЗИКА - Электрический ток. Конспект лекций.pdf
#
15.03.20151.64 Mб858ФИЗИКА - Электромагнетизм. Конспект лекций.pdf
#
15.03.2015541.39 Кб311ФИЗИКА - Электростатика. Конспект лекций.pdf