Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Физика

Файл:

ФИЗИКА - Конспекты лекций, пособия / ФИЗИКА - Электростатика. Конспект лекций.pdf

Скачиваний:

311

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

541.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

E =

1 q r

E =

, ϕ =

4πε0 r2 r

4πε0r2

4πε0 r

На рис. 3−5 показаны зависимости потенциала ϕ и напряженности поля E от расстояния r между зарядом и точкой наблюдения.

ϕ		E	0	r
	q > 0		0	r
	q > 0			q < 0
				q < 0
0	r	0	ϕ
0	r	0	r
	Рис. 3	Рис. 4		Рис. 5

Как показано на рис. 6 и 7 силовые линии поля точечного заряда радиальны, а ЭПП имеют вид сферических поверхностей.

Рис. 6	Рис. 7

2.3.Связь между напряженностью электростатического поля

ипотенциалом

1. Разность потенциалов как интеграл от напряженности электростатического поля.

Рассмотрим перемещение заряда q из точки 1 в точку 2 в электростатическом поле (рис. 8).

На рис. 8

dl − элементарное перемещение, F − электростатическая

сила, действующая на заряд со стороны поля.

Из определения разности потенциалов следует

ϕ1

r r

ϕ1 −ϕ2 =

1−2

∫

Fdl

=∫

Edl

=∫El dl,

E F

ϕ2

где El − проекция вектора напряженности электро-

статического поля на направление элементарного пе-

Рис. 8

ремещения.

Таким образом,

			2
		ϕ1 −ϕ2 = ∫El dl.
			1
Следствие: если перемещать			заряд по замкнутой траектории
(рис. 9), то ϕ1 = ϕ2 . Тогда
				∫El dl = 0.
				l
2	Циркуляция вектора		E (интеграл по замкнутому кон-
1	туру от проекции вектора E на направление перемещения)
Рис. 9	туру от проекции вектора E на направление перемещения)
	равна нулю.

2. Напряженность поля как градиент потенциала.

В разделе "Механика" [6] была доказана формула, связывающая вектор консервативной силы и потенциальную энергию:

r	= −gradW		∂W	r	+	∂W	r	+	∂W	r
F	= −gradW	= −	п i		+	п	j	+	п k .
	п		∂x			∂y			∂z
			∂x			∂y			∂z

Разделим обе части этой формулы на q:

= −grad

Wп

По определению

= E и

= ϕ, следовательно,

∂ϕ r

E = −gradϕ = −

∂x

∂y

∂z

Знак "−" означает, что вектор E направлен в сторону убывания потенциала.

В разделе "Механика" была получена формула Fl = − dWdlп , где Fl −

проекция вектора консервативной силы на направление элементарного перемещения dl .

Разделим левую и правую части на q . Тогда получим

El = − ddlϕ,

где El − проекция напряженности поля на направление элементарного перемещения, dϕ − изменение потенциала при этом перемещении.

Рассмотрим ЭПП и направление, касательное к ЭПП в точке А

(рис. 10).

Пусть dl − элементарное перемещение вдоль этого направления.
Так как в точке А		СЛ	Er
dϕ = 0 , то E = 0 .			r ЭПП
dl	l		A dl
dl	r		A dl

Следовательно, E перпендикулярен

ЭПП (ортогональность СЛ и ЭПП).

Рис. 10

2.4. Поток вектора напряженности электрического поля

Понятие потока вектора через некоторую поверхность встречается во многих разделах физики и имеет важное значение в математическом обеспечении описания физических закономерностей. Введем понятие потока вектора напряженности электрического поля, которое ниже будет использовано для доказательства теоремы Гаусса, применение которой, в свою очередь, позволит довольно просто рассчитывать напряженность электрического поля в случае заряженных тел простой геометрической формы.

Определим поток вектора напряженности через поверхность произвольной формы (рис. 11).

Для этого:

1)всю площадь поверхности S делим на элементарные площадки;

2)берем каждую площадку dS настолько малой, что ее можно

считать плоской и E = const в ее пределах;

3) проводим n − вектор нормали к этой площадке ( nr =1) , который

характеризует ориентацию площадки в пространстве.

Элементарным потоком вектора напряженности через dS назы-

вается следующая величина:

где En − проекция	dΦE = EnrdS = E cos αds = EndS,	r
	вектора напряженности на на-
правление нормали к площадке dS .		n α	E
Потоком вектора напряженности через поверх-		dS
ность S называется сумма элементарных потоков

через все площадки, на которые разбита поверх-
ность S :		Рис. 11

ΦE = ∫dΦE = ∫EndS.

Пример вычисления потока в случае поля точечного заряда.

1. Поток E через произвольную поверхность S

		n		Рассмотрим	неподвижный
		n		точечный заряд q. Для определен-
Ω	r	α	E	ности пусть q > 0 (рис. 12).
Ω	r		E	ности пусть q > 0 (рис. 12).
	dS			Разобьем S	на элементарные
q > 0	dS			площадки dS . Поток напряжен-
q > 0	S			площадки dS . Поток напряжен-
	S			ности через одну из таких площа-
	Рис. 12			док
	Рис. 12

dΦЕ = EndS =	q	rn	dS =	q cos α dS	.
	4πε0r2 r
				4πε0r2

Поток вектора E является алгебраической величиной и может быть как положительным, так и отрицательным. Это зависит от знака q и

cosα. Учтем, что

cos α

dΩ = r 2 dS − элементарный телесный угол, под которым видна

площадка dS из точки, где помещен заряд q.

При увеличении dS увеличивается и dΩ; dΩ максимально при

α = 0 ; dΩ=0 при α = π2 .

Величина dΩ измеряется в стерадианах и по определению является положительной.

Поток через площадку dS :

dΦE

= ±

qdΩ

Поток через поверхность S :

4πε0

qΩ

ΦE = ∫dΦE = ±

∫dΩ = ±

ΦE = ±

qΩ

4πε0 Ω

4πε0

Знак "+" берется, когда α − острый, "−"

берется, когда α − тупой.

2.Поток через сферическую поверхность с зарядом, находящимся в

еецентре (рис. 13)

Телесный угол, под которым виден элемент сферы,

dΩ =

cos α

dS =

dS.

q > 0

Телесный угол, под которым видна вся сфе-

ра,

Ω = ∫ dS =

4πr 2 = 4π

Рис 13

r 2

является полным телесным углом.

Поток через сферу

ΦE

4π =

(2.6)

4πε0

ε0

Вектор нормали nr принято направлять наружу по отношению к

замкнутой поверхности.

3. Поток через замкнутую поверхность S

произвольной формы

(рис. 14)

Докажем, что поток через замкнутую по-

Er nr α

верхность произвольной формы тоже определя-

ется (2.6), если q находится внутри замкнутой

поверхности.

S − часть

α2S2

Разделим ее на три поверхности:

поверхности S , которая видна из точки распо-

ложения заряда под полным телесным углом;

S2 − часть поверхности

S ,

которую силовые

линии пересекают под тупым углом α2 ; S3 − та

Рис. 14

часть S , которую силовые линии пересекают

под острым углом α3 . Заметим также, что поверхности S2 и S3 видны

из точки расположения заряда под одним и тем же телесным углом.

Поток через поверхность S

ΦE = ΦE1 + ΦE 2

+ ΦE3 =

−

Ω2 +

Ω3.

ε0

4πε0

Так как Ω2 = Ω3 , то ΦE =

Поток вектора напряженности электрического поля через произ-

вольную замкнутую поверхность равен q , если заряд находится внут-

ε0

ри объема, ограниченного этой поверхностью.

4. Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность (заряд находится вне замкнутой поверхности (рис. 15))

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ФИЗИКА - Конспекты лекций, пособия

#
15.03.2015466.38 Кб919ФИЗИКА - Механика. Конспект лекций.pdf
#
15.03.20154.02 Mб251ФИЗИКА - Молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие.pdf
#
15.03.2015585.73 Кб186ФИЗИКА - Обработка результатов измерений. Конспект лекций.doc
#
15.03.2015454.39 Кб296ФИЗИКА - Электрический ток. Конспект лекций.pdf
#
15.03.20151.64 Mб858ФИЗИКА - Электромагнетизм. Конспект лекций.pdf
#
15.03.2015541.39 Кб311ФИЗИКА - Электростатика. Конспект лекций.pdf