ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.

Пусть имеем векторное поле

а M P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k,

где координаты P x, y, z ,Q x, y, z , R x, y, z вектора a(M) непрерывны (поле a(M) непрерывно) в некоторой области G. Пусть S – некоторая гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, у которой выбрана определен- ная сторона (ориентированная поверхность).

Потоком П векторного поля a(M) через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл первого рода по поверхности S от проекции вектора a(M) на нормаль n(M) к этой поверхности:

прпadS a,n0 dS,

S S

где n0 – единичный вектор (орт) нормали n к выбранной стороне поверхности S; dS – элемент площади поверхности S.

В случае замкнутой поверхности будем всегда выбирать внешнюю нормаль n, которая направлена вовне области, ограниченной поверхностью S.

1

Если α,β,γ – углы, которые образует с осями координат Ox,Oy,Oz нормаль n к поверхности S, то поток можно выразить через поверхностный интеграл второго рода

a,n0 dS

S

P x, y, z cos Q x, y, z cos R x, y, z cos dS

S

или

a,n0 dS

S

P x, y, z dydz Q x, y, z dxdz R x, y, z dxdy,

S

где

cos dS dydz, cos dS dxdz, cos dS dxdy.

2

Основные свойства потока векторного поля.

а) Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации поверхности (т.е. с изменением ориентации нормали к поверхности S):

a,n0 dS a,n0 dS,

где S+ - сторона поверхности S, на которой выбрана нормаль n, а S– - сторона поверхности S, на которой берется нормаль –n.

б) Свойство линейности:

a b,n0 dS a,n0 dS b,n0 dS,

S S S

где λ,μ – постоянные числа.

в) Свойство аддитивности: если поверхность S состоит из нескольких гладких частей S1,S2,…,Sm, то поток векторного поля a(M) через S равен сумме потоков

вектора a(M) через поверхности S1,S2,…,Sm:

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОТОКА ВЕКТОРА.

1. Метод проектирования на одну из координатных плоскостей.

Пусть незамкнутая поверхность S проектируется взаимно однозначно на плоскость xOy в область Dxy. В этом случае поверхность S можно задать

уравнением

z f x, y ,

и так как элемент площади dS этой поверхности равен

dS cosdxdy ,

то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности S сводится к вычислению двойного интеграла по формуле

Здесь орт n0 нормали к выбранной стороне поверхности S находится по формуле:

4

а cosγ равен коэффициенту при орте k в формуле (2):

Если угол γ между осью Oz и нормалью n0 острый, то в формулах (2) и (3) берется знак «+», если же угол γ тупой, то берется знак «-». Символ

a,n0

cos z f x,y

Означает, что в подинтегральной функции вместо z надо подставить f (x,y).

5

Формула (4) применяется в случае, когда поверхность S проектируется взаимно однозначно в область Dyz плоскости yOz, а значит, ее можно задать уравнением

x=φ(y,z); cosα находится как коэффициент при орте i в формуле

Если угол β между осью Oy и нормалью n0 острый, то берется знак «+», если же угол β тупой, то берется знак «-».

В случае, когда поверхность S задана неявно уравнением Ф(x,y,z)=0, единичный вектор нормали

n0 i cos j cos k cos

находится по формуле

где знак в правой части определяется выбором нормали к поверхности S. Для вычисления потока П векторного поля а через поверхность S надо ее

спроектировать взаимно однозначно на какую-либо из координатных плоскостей xOy, yOz, xOz, что возможно сделать, если уравнение Ф(x,y,z)=0 однозначно разрешимо соответственно относительно z (z=f(x,y)), y (y=ψ(x,z)), x (x=φ(y,z)), после чего можно воспользоваться одной из формул (1), (4) или (5).

8

2.Метод проектирования на все три координатные плоскости.

Пусть поверхность S взаимно однозначно проектируется на все три

координатные плоскости. Обозначим через Dxy, Dxz, Dyz проекции S

соответственно на плоскости xOy, xOz, yOz.

В этом случае уравнение F(x,y,z)=0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов x,y,z, так что

x x y, z , y y x, z , z z x, y .

Тогда поток вектора

a P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k

через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен

n0 cos i cos j cos k

можно записать так:

a,n0 dS

S

P x, y, z cos Q x, y, z cos R x, y, z cos dS.

S

9

Известно, что

dS cos dydz, dS cos dxdz, dS cos dxdy,

Причем знак в каждой из формул выбирается таким, каков знак cosα, cosβ, cosγ на поверхности S. Отсюда получаем

P x y, z , y, z dydz Q x, y x, z , z dxdz

Dxy

3. Метод введения криволинейных координат на поверхности.

В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S можно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости.

10