Закон электромагнитной индукции

В 1831 г. Фарадей экспериментально обнаружил, что на зажимах проводящей катушки, помещенной в переменное магнитное поле, возникает разность электрических потенциалов. Основываясь на этом открытии, Максвелл сформулировал один из основных законов теории электромагнетизма - закон электромагнитной индукции.

Пусть в некоторой области пространства существует переменное магнитное поле. Рассмотрим воображаемый замкнутый контур L, направление обхода которого выбрано против движения стрелки часов, если смотреть с конца вектора В.

Пусть Е — вектор напряженности возникающего электрического поля. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме:

Электрическое поле, возникающее под действием переменного во времени магнитного поля, имеет в каждой точке пространства отличный от нуля ротор (вихрь). Подобные векторные поля называют вихревыми полями. Если а и b — две произвольные точки в пространстве, а Е — вихревое векторное поле, то криволинейный интеграл

b

A Edl

a

зависит не только от положения концевых точек, но и от выбора пути интегрирования. Действительно, перемещаясь от а к b вдоль кривой L1 и

возвращаясь от b к а вдоль кривой L2 имеем

b a

Edl Edl 0.

a b

Т.е. работа сил поля Е, индуцированного в пространстве переменным магнитным потоком, при обходе замкнутого контура не равна нулю. Такое поле Е не является потенциальным и в этом отношении качественно отличается от электрического поля в системе неподвижных и постоянных во времени зарядов.

23

Однако во многих практически важных случаях магнитное поле меняется достаточно медленно, так что правую часть формулы можно приближенно считать равной нулю. При этом электрическое поле близко по своим свойствам к безвихревому и работа сил поля не зависит от пути интегрирования. В этих условиях становится возможным приближенный анализ электродинамических систем методами теории цепей, в частности с использованием второго закона Кирхгофа, физическая сущность которого как раз связана с независимостью работы сил поля от геометрической конфигурации контура.

МАТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Для описания электромагнитных явлений в материальных средах необходимо располагать соотношениями, которые связывали бы попарно векторные поля Е и D, В и Н. Уравнения подобных связей называют материальными уравнениями. Их вывод должен опираться на микроскопическую (атомно-молекулярную) картину процессов, которые происходят в веществе под действием сил электромагнитного поля.

24

Свойства диэлектриков. Диэлектрики— вещества, которые не проводят электрический ток. Они способны специфическим образом изменять свое состояние, будучи помещенными в электрическое поле.

Сущность явления:

Молекулы и атомы вещества представляют собой объединение электрически заряженных частиц. В неионизированном состоянии суммарный заряд молекулы (атома) равен нулю. Для диэлектриков характерны прочные связи электронов с атомами, т. е. высокие значения энергии связи. Поэтому при помещении образца диэлектрика в электрическое поле сквозного дрейфового движения носителей заряда в толще материала не наблюдается, по крайней мере в не слишком сильных полях.

Однако при этом молекула диэлектрика деформируется так, что ее можно представить совокупностью двух разноименных зарядов +q и -q, смещенных в пространстве на некоторое расстояние l. Такую систему из двух зарядов называют электрическим диполем. Очевидно, что величина l тем больше, чем выше напряженность приложенного электрического поля.

25

В отсутствие внешнего поля Е молекулярные диполи ориентированы в пространстве хаотично. Под действием приложенного поля происходит ориентация молекулярных диполей. Очевидно, что степень выраженности этой ориентации тем меньше, чем выше температура, поскольку хаотическое тепловое движение нарушает порядок расположения молекул в пространстве.

Для количественного описания степени поляризованности отдельной

молекулы вводят в рассмотрение ее дипольный момент

p qlil ,

который представляет собой вектор, коллинеарный единичному вектору il , направленному вдоль оси диполя от

отрицательного заряда к положительному.

Пусть в единице объема вещества находится N молекулярных диполей. Пусть вектор поляризованности - мера поляризации диэлектрика в каждой точке пространства P Np.

Конфигурация силовых линий векторного поля поляризованности зависит как от концентрации молекулярных диполей, так и от направлений векторов электрического поля внутри вещества.

27

Поляризационные заряды. Образец диэлектрика, бывший первона- чально электрически нейтральным, остается таковым и в процессе поля- ризации. Однако если векторное поле Р пространственно неоднородно, то внутри диэлектрика возникает некоторая отличная от нуля объемная плотность электрического заряда, обусловленная перемещением носите- лей в пространстве.

Рассмотрим бесконечно протяженную плоскую область толщиной Δх внутри диэлектрика, поляризованного вдоль оси х .

Q x0 N x0 ql x0 Px x0 . 28

Отрицательный заряд, поступающий через правую границу,

Q x0 x N x0 x ql x0 x Px x0 x .

Рассмотрим данную задачу в более общей постановке, предполагая, что поляризованность неоднородна по всем трем пространственным

координатам, т. е. P P x, y, z

Пусть dS — элементарная площадка. Величина положительного заряда, пересекающего эту площадку в процессе поляризации, равна произведению модулей векторов Р и dS, умноженному на косинус угла между ними, т. е. скалярному произведению РdS. Тогда положительный заряд, вышедший за пределы ограниченного объема V с поверхностью

S

Внутри объема V обнаруживается равный по величине заряд противопо-

ложного знака

Q PdS.

S

Используя теорему Остроградского — Гаусса, будем иметь

Q divPdV ,

V

откуда, переходя к дифференциальной форме записи, получим

n divP.

Материальное уравнение электрического поля в диэлектрике. Поляризационные заряды являются «истинными» и наряду со свободными зарядами, имеющими объемную плотность ρсв, должны

учитываться при записи закона Гаусса:

S V