Теория вероятности Вариант 45

Графики построены с использованием сайта math.semestr.ru.

1. Электрическая цепь состоит из пяти элементов, выход из строя которых в заданный промежуток времени – независимые события, имеющие вероятности каждый. Найти вероятность отказа цепи за данный промежуток времени.

Решение:

По условию вероятности выхода из строя пяти элементов.

Найдем вероятность работы всей цепи при

При последовательном соединении:

Та же самая вероятность отказа будет на участке 4-5:

При параллельном соединении:

Окончательно при последовательном соединении:

Тогда вероятность отказа всей цепи:

2. Дискретная случайная величина задана законом распределения . Найти величину , построить график функции распределения данной случайной величины. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

	0	2	4	6	8
		0,2	0,4	0,2	0,1

Решение:

Величину a находим из условия:

	0	2	4	6	8
	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Построим график распределения случайной величины.

При х  0,

При 0 < х  2,

При 2 < х  4,

При 4 < х  6,

При 6 < х  8,

При х >8,

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

	0	2	4	6	8
	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задана выражением:

Найти величину коэффициента , написать аналитическое выражение и простроить график функции распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Найти вероятности попадания данной случайной величины в интервалы и .

Решение:

Величину коэффициента a находим по свойству функции распределения:

Тогда

Найдем функцию распределения:

Тогда

График функции распределения вероятности:

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Найдем вероятности попадания данной случайной величины в интервалы и .

4. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием в интервал (4; 6) равна 0,8. Найти дисперсию данной случайной величины.

Решение:

Для нормально распределенной случайно величины выполняется следующее:

Дисперсия:

5. Дискретная случайная величина задана выборкой:

1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1

Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Решение:

Построим вариационный ряд: отсортируем выборку в порядке возрастания.

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3

Построим статистический ряд распределения:

	1	2	3
	12	3	10

n = 25 – объем выборки.

Построим полигон частот:

Найдем эмпирическую функцию распределения:

При х  1,

При 1 < х  2,

При 2 < х  3,

При х > 3,

Найдем выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Выборочная средняя:

Выборочная дисперсия: