Спектры периодических сигналов.
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
Лекция №3 |
11 |
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
12 |
|
Лекция №3 |
||
|
№3 |
13 |
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
Лекция |
14 |
№3 |
|
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Спектры периодических сигналов.
Периодическим называют сигнал, мгновенные значения которого повторяются через равные промежутки времени – Т
Модель такого сигнала имеет видs t s t k T ,
где Т- период повторения, а F=1/T-частота повторения периодического сигнала (ПС)
Основной математический аппарат спектрального анализа таких сигналов
–ряд Фурье в базисе гармонических сигналов с кратными частотами.
Формы спектрального представления периодического сигнала Квадратурная
s( t k T ) |
|
s ( t ) |
a0 |
|
a |
cos( |
2 kt ) b |
sin( 2 kt ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
T |
|
T |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T / 2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|||||
ak |
|
|
2 |
|
S( t )cos( 2 kt )dtамплитуды |
синфазных гармоник |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
T T / 2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||
bk |
|
|
2 |
T / 2 |
S( t ) sin( 2 kt )dtамплитуды |
квадратурных гармо |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
T T / 2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||
a0 |
|
|
2 |
T / |
2 |
S( t )dtпостоянная |
составляющая |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
T T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
|
|
|||||||||
Лекция №3
ник
15
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Амплитудно–фазовая форма ряда Фурье
s ( t ) s( t k T ) |
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A cos( x |
k |
k |
) |
|
||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
cos x |
k |
b sin x |
k |
|
a 2 b 2 |
cos( x |
k |
|
k |
) |
||||||
k |
|
|
k |
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
k |
2 kt k2 f t k t |
k |
t; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
T |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 b |
2 AАЧС |
|
|
arctg |
|
bk ФЧС |
||||||||||
|
|
k |
|
k |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ak |
Ak cos( k ) |
|
bk Ak sin( k ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
|
Лекция №3 |
16 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Комплексная форма ряда Фурье
cos x |
e jx e jx |
sin x |
e jx e jx |
|
2 |
j2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 2 kt |
|
|
j 2 kt |
|
|
bk |
|
|
|
|
j 2 kt |
|
|
j |
2 kt |
|
|
|
||||||||
s( t k T ) a0 |
|
ak |
|
e |
T |
|
|
|
e |
T |
|
|
|
|
|
|
e |
T |
e |
|
|
T |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
12 ak jbk e j |
2 |
|
|
|
|
|
|
12 ak jbk e j |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
k 1 |
T |
kt k 1 |
|
T |
|
kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
j |
2 |
|
|
|
|
& j |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j k |
|
j |
|
T |
kt |
|
|
j k |
|
|
T kt |
|
|
|
T |
kt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||
s( t k T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
e |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
A e e |
|
|
|
|
|
2 |
A e e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
|
Лекция №3 |
17 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Комплексная форма ряда Фурье
& |
|
|
Ak |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T / 2 |
|
|
j |
2 |
kt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
j k |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||||
Ck |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
S( t )e |
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ak |
jbk , |
|
|
& |
|
ak jbk |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ak |
|
A k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ak |
1 |
|
|
& |
& |
|
|
|
bk |
j |
1 |
|
& |
& |
|
|||||||||||||
2 |
Ak A k |
|
|
2 |
Ak |
A k |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
модуль |
|
|
Ck |
|
|
|
2 |
|
|
|
АЧС |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
ФЧС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аргумент |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k arg Ck |
|||||||||||||
АЧС –чётная функция частоты (обладает симметрией в области положительных и отрицательных частот)
ФЧС – нечётная функция (обладает центральной симметрией)
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
|
Лекция №3 |
18 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Вопрос 1. Спектры непериодических сигналов.
В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат рядов Фурье не применим.
Т- финитные сигналы: |
а) видеоимпульсы; |
б) |
радиоимпульсы |
|
|
Uр(t) = Uв(t)cos(ωt + φ)
Uв(t) — огибающая радиоимпульса ω — опорная (несущая) частота
φ — фаза
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
|
Лекция №3 |
19 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала , когда период повторения стремится к
Устремим в периодическом сигнале T или f1 |
= 1/T = 1/2 |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
& |
|
|
||
s( t k T ) |
|
& j T kt |
|
|
s(t) |
|
jk 1t |
|
||||||
C |
e |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
C |
Te |
|
||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
где = 1 |
= k 1 – (k – 1) 1 =2π/T — разность между частотами |
|
||||||||||||
соседних гармоник |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
|
Ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
S( j ) lim CkT lim |
|
|
2 |
спектральная плотность сигнала |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
T |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
|
Лекция №3 |
20 |
s(t)
S(
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Прямое и обратное преобразование Фурье
|
1 |
|
|
|
|
|
S( j )e j tdОПФ- |
|
|||
2 |
& |
||||
|
|
s(t) |
|||
|
|
|
S( j ) |
||
j ) s(t)e j tdtППФ-
Обратное преобразование Фурье (ОПФ) для сигнала s(t) - операция синтеза, поскольку с ее помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих. Для восстановления сигнала надо знать информацию об АЧС и ФЧС.
Прямое преобразование Фурье (ППФ) – операция анализа сигнала на основе определения его спектральных составляющих.
Радиотехнические цепи и сигналы (РТЦ и С) |
|
Лекция №3 |
21 |