lektsii_TsOS_gruppa_RK_01 (1)

ограничивают N членами и рассматривают как периодическую с периодом N, причем дискретное преобразование Фурье вычисляют

только на кратных частотах f k = k N . При этом, если имеется N

отсчетов дискретной последовательности с периодом N, то с помощью прямого дискретного преобразования Фурье можно получить N

компонент спектра на частотах f k = k N .

Например, если fд = 8 кГц , то отсчёты можно получить на

чисел. Таким образом, для больших значений N (порядка нескольких сотен или тысяч) прямое вычисление ДПФ требует весьма большого числа арифметических операций умножения и сложения, что затрудняет реализацию вычисления процессов и спектров в реальном масштабе времени.

Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислений дискретного преобразования Фурье. Исходная идея этих алгоритмов состоит в том, что N-точечная последовательность разбивается на две более короткие, например на две N/2-точечные последовательности.

Вычисляются ДПФ для этих коротких последовательностей и из этих ДПФ конструируется ДПФ исходной последовательности.

Для двух N/2-точечных последовательностей требуется примерно (N/2)²·2=N²/2 умножений комплексных чисел, т.е. число

умножений (а также сложений) уменьшается примерно в 2 раза. Аналогично вместо вычисления ДПФ N/2 -точечной последовательности можно вычислить ДПФ для двух N/4-точечных

(N/2)–1, доопределим (1.4.5) для значений k = N/2, (N/2)+1, (N/2)+2, …, N–1.

Учитывая, что G(k )и F (k ) периодические функции с периодом

последовательности через дискретное преобразование Фурье двух N/2-точечных последовательностей. Этот алгоритм можно

представить направленным графом, имеющим вид “бабочки” (рис.1.4.1):

Рис.1.4.1. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени

Пояснения к рис.1.4.1.

- узел, линия выходит из узла вверх - суммирование , линия

выходит из узла вниз - вычитание ; стрелка – умножение на поворачивающий множитель.

Пример:

Построим алгоритм БПФ с прореживанием по времени для последовательности длиной N = 8 = 23 , т.е. для x(n ), где n = 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7. Разобьём исходную последовательность x(n) = x3 (n) на

Граф алгоритма быстрого преобразования Фурье для этих последовательностей представлен на рис.1.4.2.

- 46 -

На рис.1.4.4 приведен граф дискретного преобразования Фурье от последовательности длиной N=2.

Рис.1.4.4. Граф дискретного преобразования Фурье от последовательности длиной N=2.

Таким образом в рассматриваемом примере при N=8 имеем 3

этапа разбиения ( log2 8 = 3). В общем случае число этапов log2 N . На

каждом этапе экономим N/2 комплексных умножений и N/2 сложений.

На объединение требуется N log2 N арифметических операций.

Общее количество операций существенно сократилось.

Однако мы не можем работать непосредственно с входной последовательностью, так как ее необходимо реорганизовать (для нашего примера в первом этапе на две последовательности x(0), x(2), x(4), x(6) и x(1), x(3), x(5), x(7) соответственно). Для этого используется двоично-инверсионная последовательность, приведенная в таблице 6.1.

Используя двоично-инверсионную последовательность можно легко формировать реорганизованные последовательности.

1.4.1. Применение метода БПФ для вычисления обратного ДПФ.

Пусть известно дискретное преобразования Фурье последовательности x(n)

При сравнении (1.4.14) и (1.4.15) видно, что их отличии состоит только лишь в знаке степени поворачивающегося множителя. Однако

алгоритм БПФ построен только для положительных степеней WNk n .

Будем считать, что в общем случае последовательность x(n) и X p (k )

комплексные величины. А так как

Поэтому с учетом последних соотношений можно в обратном дискретном преобразовании Фурье перейти к сумме, вид которой аналогичен виду суммы прямого ДПФ, т. е.

комплексно сопряженные X p (k);

• воспользовавшись алгоритмом БПФ для работы с

1.4.2. Применение БПФ для вычисления реакции

линейной дискретной цепи

Известно, что реакция y(n ) линейной дискретной цепи будет определяться в виде свёртки воздействия x(n ) и импульсной характеристики g(n ), т.е.

N −1

N = N1 + N2 , N1 – длина воздействия, N 2 – длина импульсной

характеристики.

Свертку можно вычислить только для последовательностей одинаковой длины. Поэтому последовательности g(n) и x(n) дополняют справа нулями до длины N.

Так как Y p (k ) = X p (k ) H p (k ), то с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье вычислим X p (k ) и H p (k ), а затем

определяется y(n ).

Тогда алгоритм нахождения реакции ЛДС из следующих этапов:

исключительным, так как на практике чаще всего входная

последовательность x(n) бесконечная или очень большая. В свою очередь и импульсная характеристика h(n ) может быть как конечной,

так и бесконечной. В этом случае используется метод секционирования последовательности.

Рассмотрим метод секционирования на примере КИХ цепи.

Дляэтой цепи импульснаяхарактеристика конечнаисоставляетдлинуN.

Для каждой последовательности xi (n) вычисляется свёртка, а так

как система линейная, то свёртки всех последовательностей суммируются. Так как имеются перекрытия секций и образуются дополнительные хвосты от перекрытий, то их надо отбросить.

Для последовательности xi (n) вычисляется свертка

Вполученной последовательности ~yi (n) отбрасываем

Результирующая последовательность y(n) представляется

путём последовательной подстыковки к значениям предыдущей свёртки с номером xi −1(n).

1.5.Цифровые фильтры и их синтез

Вобщем случае под цифровым фильтром понимается любой алгоритм обработки цифровых сигналов. Однако в данном разделе под цифровым фильтром будем понимать частотно-избирательные дискретные цепи.

Синтез фильтров состоит из следующих этапов:

1. Задания требований к фильтру

−требования к АЧХ или к характеристике ослабления,

−требования к ФЧХ,

−определение класса фильтра (рекурсивный или нерекурсивный).

2.Расчёт коэффициентов передаточной функции (по справочнику или аналитически).

3.Контроль выполнения требований и расчёт коэффициентов масштабирования, например, в рекурсивном фильтре может получиться коэффициент больше единицы, что может привести к потере устойчивости фильтра, следовательно, надо

- 50 -

уменьшить этот коэффициент в некоторое число раз – это и будет коэффициент масштабирования.

4. Выбор числа звеньев фильтра (фильтр может быть составлен из последовательно соединённых простейших ЛДС, рассмотренных ранее).

5.Реализация фильтра с соответствующей отладкой на основе программных и аппаратных средств отладки.

Рассмотрим задание требований к фильтру на примере цифрового фильтра нижних частот. Идеальная амплитудно-частотная характеристика этого фильтра приведена на рис.1.5.1. Исходные данные при проектировании фильтра следующие:

•полоса пропускания,

•величина отклонения АЧХ реального фильтра от АЧХ идеального фильтра в полосе пропускания,

•полоса заграждения,

•величина отклонения АЧХ реального фильтра от 0 в полосе заграждения,

•переходная полоса от полосы пропускания к полосе заграждения (требования не предъявляются),

•линейность ФЧХ.

Рис.1.5.1. АЧХ идеального фильтра низких частот (а) и требования при его проектировании (б).

На рисунке введены следующие обозначения:

•± δ1 - максимальное отклонение от 1 нормированной

реальной АЧХ в полосе пропускания,

•δ21 - максимальное отклонение от 0 нормированной

реальной АЧХ в полосе заграждения,

•ωП - переходная полоса.

Нормированная амплитудно-частотная характеристика определяется в виде: