3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин

В приведенных выше примерах нам было достаточно несложных алгебраических преобразований для получения ответа. Иная ситуация возникает, если выражение содержит трансцендентные функции, типа синуса, логарифма и другие. В этом случае нам помогут некоторые пределы, называемые в математике «замечательными» пределами и сравнение бесконечно малых величин между собой.

Первый замечательный предел:,

Второй замечательный предел:, или,- иррациональное число.

Сравнение бесконечно малых величин между собой определяется через предел их отношения. Пусть ибесконечно малые величины при. Правила сравнения запишем в таблицу:

	Величины одного порядка малости
	Эквивалентные величины	. Читается: эквивалентнопри.
	Величина имеет больший порядок малости по сравнению с величиной	. Читается: есть- малое по сравнению спри.
не существует	Величины не сравнимы между собой

На основании замечательных пределов можно получить таблицу эквивалентных величин при .

Заметим, что слева в формулах стоят различные функции, а сравниваются все они со степенной функцией, наиболее простой для работы.

Примеры сравнений:

.

Теорема. Пусть при. Тогда справедливы равенства:

,. ●

Примеры на вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентных величин:

,.

Если при вычислении пределов с неопределенностью переменная стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной. Например:

.

Пояснения к решению примера. Подставив предельное значение в заданный пример, получили неопределенность вида , т.е. отношение бесконечно малых величин. Но таблицей воспользоваться нельзя, так как таблица справедлива только для случая, если переменная стремится к нулю. Сделаем замену переменной (замена выделена вертикальными линиями) и преобразуем выражение. Подставив новую переменную в выражение для предела, снова получаем неопределенность, но теперь мы уже могли воспользоваться таблицей эквивалентных величин, что и было сделано.

Вычисление пределов при неопределенности . Можно предложить несколько способов. Рассмотрим пример: вычислить. Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности.

Первый способ – логарифмировать заданное выражение. Обозначив заданную функцию , получаем

,

.

Следовательно, .

Второй способ ─ построение выражения в виде :

.

4. Производная функции

Пусть функция определена в точкеи ее окрестности. Если существует конечный предел

, (3)

то этот предел называется производной функции в точке и обозначаетсяили.

При существовании односторонних пределов илиговорят о существовании односторонних производных.

Функция, имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, называется дифференцируемой функцией на этом промежутке.

Вычисляется производная с использованием таблицы производных и согласно правилам дифференцировании.

		Правила дифференцирования
const	0	. . . . . (дифференцирование сложной функции)/ . АЛГОРИТМ вычисления производных: Найти последнее действие (функцию). Применить формулы I–V. Применить таблицу производных. Замечание.Выражения, следует предварительно преобразовать по формулам: ; ;;

Производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначаетсяили. Аналогично определяются производные более высоких порядков.

Геометрический смысл производной.Пусть функция непрерывна на промежутке в окрестности точки, а график функции имеет в этой точке касательную, не параллельную оси. Тогда

, (4)

где – угол между положительным направлением осии касательной (рис. 1).

Рис. 1

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

. (5)

Пример 3. Найти производную функции в точке.

Решение...

Пример 4. Найти производную функции в точке.

Решение. Заданная функция – сложная. Используем формулу дифференцирования сложной функции.

Тогда .