Индивидуальное задание
1. Вычислить определители:
,
,
.
2. Даны матрицы:
,
,
,
.
Вычислить:
,
где
- единичная матрица.
(вычисления
проводить, сохраняя три знака после
запятой).
3.
Решить матричное уравнение (найти
матрицу
).
.
4. Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.
а)
б)
5. Исследовать системы уравнений и найти решение, если оно существует.
а)
б)
в)
6. Исследовать и решить системы уравнений.
а)
б)
в)
Приложение
В приложении приведены примеры работы с матрицами и примеры решения систем с использованием математического пакета MATHEMATICAПервоначально студент должен ознакомиться с работой интерфейса. Для любой работы необходимо знать операции ввода, вывода результатов; команды для выполнения операций.
Ввод данных осуществляется через знак «=». Программа подтверждает ввод строкой «In[1]:=…». Результат выполнения операции находится в строке, начинающейся словом «Out[1]=». Номера в квадратных скобках ввода и вывода совпадают.
Выполнение любой операции происходит по команде со строгим выполнением заданного формата.
Найти эти форматы можно в справке VIRTUALBOOK. Там же приведены примеры выполнения операций. Ниже приведен ряд команд для выполнения заданий по теме.
Ввод матрицы.
In[4]:= m1 = {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}} Out[4]= {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}}
Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фигурных скобок.
Умножение матриц.In[1]:= m2 = {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}} In[1]:= m3 = {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3} Out[1]= {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}} Out[2]= {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}} In[7]:= m1.m2 Out[7]= {{34, 26, 20}, {31, 28, 72}, {-19, 1, 40}, {-1, -8, 40}}
Команда для умножении «.».
Вычисление определителя.
In[10]:=Det[m2]Out[10]= 252
Матрица m2 введена выше.
Нахождение обратной матрицы.In[8]:=Inverse[m2]Out[8]= {{-(5/63), -(11/63), 8/63}, {11/63, -(1/63), -(5/63)}, {1/126, 17/252, 11/ 126}}
Вычисление собственных чисел и собственных векторов.In[14]:=Eigenvalues[{{1, 2}, {2, 1}}]Out[14]= {3, -1}In[16]:=Eigenvectors[{{1, 2}, {2, 1}}]Out[16]= {{1, 1}, {-1, 1}}.
m4 = {{2, 1}, {8, 7}, {3, -5}, {-4, 6}}
Определение ранга матрицы.
In[18]:=MatrixRank[m1]Out[18]= 3
Решение систем линейных уравнений.In[17]:=Solve[{2x+y-z+ 2t== 12, -x+ 2y+ 4z+ 3t== 4, 2x+y+ 4z- 2t== -10,x+ 3y+ 5z+ 2t== 3}, {x,y,z,t}]Out[17]= {{x-> 1,y-> 2,z-> -2,t-> 3}}.
В этом примере система имеет единственное решение. Вместо знака равенства в ответе используется « ->». Ниже система, имеющая множество решений и система, не имеющая решений.
In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 9}, {x, y, z}] Equations may not give solutions for all"solve", In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 10}, {x, y, z}] Out[20]= {{x -> 1, y -> 3 - z}} Out[21]= {}
Наряду со строчной записью ввода вывода использоваться записью матриц и других математических объектов в привычном виде. Для этого можно использовать команду TraditionalForm
Использование традиционной символики.
In[23]:=m= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}
In[24]:= TraditionalForm[m]
Out[23]= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}
Out[24]//TraditionalForm
=
1Элементами матрицы могут быть и другие математические объекты, при этом свойства, рассмотренные для числовых матриц, в основном сохраняются.