4. Представление гармонического колебания в виде вращающегося вектора. Сложение колебаний одной частоты, происходящих в одном направлении.

Вектор равномерно вращается вокруг точки , против часовой стрелки с угловой скоростью .

, - угол между и осью в начальный момент времени.

следовательно, гармонические колебания можно представить в виде вращающегося вектора. При этом, модуль вектора равен амплитуде колебаний, а угловая скорость вращения частоте колебаний.

Материальные точки участвуют в двух колебаниях одной частоты, происходящих в одном направлении. При этом

В результате совершаются гармонические колебания с той-же частотой , амплитудой и начальной фазой .

5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Пусть, например, материальная точка участвует в двух колебаниях: относительно оси и относительно оси .

В результате точка движется по какой-то траектории. Написанное выражение дают уравнение траектории в параметрическом виде, где параметр .

Получим уравнение траектории в явном виде, исключив .

; , избавляемся от квадрата и получаем выражение

Как известно, это уравнение эллипса, расположенного произвольным образом относительно оси координат.

1. Вывод: точка совершает вдоль этой прямой гармонические колебания с той-же частотой и амплитудой.

2. 

3. уравнение эллипса приведённого к осям координат

, ,

При колеблющиеся точки находятся в точке

При

6. Колебания с затуханием упругой механической системы. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Считаем, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения.

Такая зависимость имеет место при движении тел с малыми скоростями в вязких средах.

Делим всё на и записываем в виде

Вводим обозначения ,

Решения данного уравнения ищем в виде

После соответствующих преобразований получим

Изобразим график зависимости амплитуды колебаний от времени для разных значений

Видно, чем больше тем быстрее затухает амплитуда

– коэффициент затухания

Изобразим графики соответствующих колебаний.

Возьмём отношение амплитуд разделённых промежутком времени, равном 1 секунде.

Возьмём натуральный логарифм этого отношения:

Поскольку и – константа, то логарифм отношения — константа и само отношение — константа. То есть отношение амплитуд колебаний разделённых интервалом времени, равном одной секунде, остаётся постоянным.

Возьмём натуральный логарифм отношения амплитуд, разделённых интервалом времени равном периоду колебаний. Такой логарифм называют логарифмическим инкрементом затухания, обозначают буквой

Для данной системы и – константа, тогда логарифм отношения — константа и само отношение константа. Отношение амплитуд колебаний разделённых интервалом времени, равном периоду колебаний остаётся постоянным.

Выясним физический смысл

; , – число колебаний, за которое амплитуда уменьшилась в раз, тогда

Логарифмический декремент — это величина, обратная числу колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшилась в раз.

Важные характеристика колебательной системы является так называемая добротность . Определение:

, – полная энергия колебательной системы, - энергия, растрачиваемая системой за одно колебание. Можно показать, что