5.4. Структурные схемы

В структурных схемах дискретных систем импульсные (дискретные) элементы изображаются ключами (рис. 5.8.). Иногда ключ снабжается замыкающей стрелкой и большой буквой T, которая означает, что элемент осуществляет квантования с периодом T.

T T

Идеальный импульсный элемент изображается прямоугольником с символом - функции внутри (рис. 5.9, а).

Формирующий элемент изображается как обычное непрерывное звено прямоугольником с записью его передаточной функции (рис. 5.9, б).

x (t) u*_x(t) u*_x(t) x*(t)

Кроме общих структурных схем широко используются детализированные структурные схемы, состоящие только из безинерционных масштабных звеньев и идеальных интегрирующих звеньев с полностью вскрытыми связями между ними.

5.4.1. Дискретно-непрерывная система

W(z) = Z{W₁(s)W₂(s)…W_n(s)} = W₁W₂W₃…W_n(z)

Правило: Дискретная передаточная функция последовательного соединения непрерывных звеньев не равна произведению их Z-форм, а равна Z-форме произведения их непрерывных передаточных функций.

5.4.2. Дискретная система с несколькими импульсными элементами

W(z) = W₁(z)W₂(z), где W₁(z) = Z{W₁(s)}, W₂(z) = Z{W₂(s)}.

Правило: Передаточная функция нескольких последовательно соединенных непрерывных звеньев, разделенных импульсными элементами, равна произведению их Z-форм от непрерывных передаточных функций.

Дискретно-непрерывная система

W(z) = ,где W_i(z) = Z{W_i(s)}

Правило: Дискретная передаточная функция параллельного соединения непрерывных звеньев равна сумме дискретных передаточных функций отдельных ветвей.

Дискретная система с несколькими импульсными элементами

Правило: Параллельные каналы с безинерционными звеньями и импульсными элементами, работающими синхронно и с одинаковым периодом квантования, могут быть заменены одним импульсным элементом, включенным после узла суммирования.

Дискретно-непрерывная система с единичной обратной связью

W_пнч(s)

X(s) E(s) Y(s)

Y(z,) = W(z,)E(z), где W(z,) = Z_W_ПНЧ(s), E(z) = X(z) – Y(z). Подставляя в уравнение выхода, получаем

Y(z,) =W(z,)X(z) - W(z,)Y(z).

Положим =0, тогда

Y(z) = W(z)X(z) - W(z)Y(z) = .

Подставляя в уравнение для Y(z,), получим

Y(z,) =W(z,)[X(z) - Y(z)] = W(z,)[X(z) - X(z)] = X(z).

Передаточная функция замкнутой системы по управлению:

Ф_x(z,) ==.

Получим передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

Ф_е(z,)=,

где E(z,) =X(z,) -Y(z,). Подставляя в уравнение для ошибкиY(z,) = =X(z), получим E(z,) =X(z,) -X(z).

К сожалению, из полученного выражения E(z,) невозможно написать отношениеE(z,) кX(z). Это можно сделать, только положив =0, тогдаE(z) = X(z) - X(z) = X(z). Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке при =0 будет:

Ф_е(z) = =.

Отметим, что по форме передаточные функции замкнутой дискретно-непрерывной системы полностью совпадают с соответствующими передаточными функциями непрерывной системы.

Дискретные системы произвольной структуры

Под произвольной структурой мы будем понимать расположение одного или нескольких импульсных элементов в различных местах дискретной системы, (в прямом канале, в канале обратной связи, между непрерывными звеньями и т.д.). Для записи уравнений или передаточных функций в таких системах следует использовать три основных правила записи уравнений в Z-изображениях.

*Правило1: Z-изображение выходного сигнала одного или нескольких последовательно соединенных непрерывных звеньев, подвергнутых воздействию дискретного сигнала, равно произведению Z-изображения, входного сигнала на Z-преобразование непрерывной передаточной функции. Рисунок ниже иллюстрирует это правило:

Правило2: Если одно или группа непрерывных последовательно соединенных звеньев подвергнута воздействию непрерывного сигнала, то Z-изображение выходного сигнала равно Z-преобразованию произведению изображения входного сигнала на непрерывные передаточные функции звеньев.

W(s)

W₁(s)

W₂(s)

X(s) Y(s) X(s) Y(s)

Y(z) = Z{X(s)}W(s)} = XW(z). Y(z) = Z{X(s)}W₁(s)W₂(s)} = XW₁W₂(z)

Y(z,) = Z{X(s)W(s)} = XW(z,) Y(z,) = Z{X(s)}W₁(s)W₂(s)} = XW₁W₂(z,)

Правило 3. Z – изображение выходного сигнала группы звеньев, разделенных импульсными элементами, работающими синхронно и с одинаковым периодом квантования, равно произведению Z-форм передаточных функций отдельных звеньев.

Y(z) = X(z)W₁(z)W₂(z)W₃(z), где W₁(z) = Z{W₁(s)}; W₂(z) = Z{W₂(s)}; W₃(z) = = Z{W₃(s)};

Выражение Y(z,) при0 довольно сложное и здесь не производится.

Пример: Простая система с одним импульсным элементом и неединичной обратной связью.

Для записи выражения передаточных функций системы по управлению G(s) и ошибке E(s) разорвем искусственно систему (разрыв всегда делается перед импульсным элементом или перед первым импульсным элементом, если их несколько).

Y(s) G(s)

E(s) E(s)

Запишем выражение для E(z)

E(z) = - E(z)W₁W₂(z) + G(z) = G(z).

Передаточная функция замкнутой системы по управлению

Ф_g(z)==.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке:

Ф_e(z) = =.

Непосредственное применение правила Мэйсона к графу, эквивалентному структурной схеме дискретно-непрерывной системы, невозможно. Существует два пути использования правила Мэйсона для дискретно-непрерывных систем:

1) составление дискретного графа, в котором все переменные представлены дискретными величинами и для которого применение правила Мэйсона допустимо;

2) использования исходного эквивалентного графа с изменением формулы Мэйсона. Первый путь является более простым и эффективным и поэтому получил широкое распространение в практике анализа дискретно-непрерывных систем, особенно при решении задачи записи уравнений в Z-изображениях для систем сложной структуры с несколькими дискретными элементами.

В качестве иллюстрации использования формулы Мэйсона и записи уравнений в Z-изображениях рассмотрим простую дискретную систему с одним дискретным элементом и неединичной отрицательной обратной связью (рис. 2.23), использованную выше для составления эквивалентного графа.

Уравнения для входа и выхода в изображениях

E(s) = G(s) - W(s)W_ос(s)E*(s), Y(s) = W(s)E*(s).

Подвергнем Z-преобразованию записанные уравнения

E(z) = G(z) - WW_ос(z)E(z) = , Y(z) = W(z)E(z) = G(z) .

Составляем дискретный граф системы

G(z) 1 E(z) W(z) y(z)

-WW_ос(z)

К такому графу правило Мэйсона применяется без всяких ограничений и условий:

= ; = .

Передачи между непрерывными и дискретными сигналами могут быть определены из так называемого составного графа.

Составным графом называется совокупность дискретного и эквивалентного графов, полученная путем соединения выходных узлов квантователей эквивалентного графа с аналогичными узлами дискретно графа дугами с единичными передачами.

G(z) 1 E(z) W(z) Y(z)

-WW_ос(z) 1

E(z)W₁(s)

G(s) E(s) Y(s)

-W_x(s)

Составной граф для рассматриваемой нами системы будет следующим:

Применение правила Мэйсона к составному графу позволяет записать выражения передач для всех непрерывных и дискретных вершин. Так например,

=;E(s) = G(s) - G(z).