Свойства определенного интеграла:

Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом

Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходеаргумента х от значения х=а к значению х=b, равное разности F(b)-F(a),называется определенным интегралом и обозначается символом

так, что если

то

Данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница,предполагается при этом, что подинтегральная функция f(x) непрерывна при всехзначениях х, удовлетворяющих условиям

Для вычисления определенных интегралов мы, как и отмечалось выше, будемрассматривать наиболее часто используемые методы - замену переменной и

Таким образом, искомый интеграл равен 6.

Геометрический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том,что определенный интеграл равен площадикриволинейной трапеции, прилегающей к осиОх и ограниченной кривой y=f(x)и прямыми у=0; x=а; х=b.

Примеры

интегрирование по частям.Пример: необходимо найти определенный интеграл

Решение:

1. Найти площадь одной арки синусоиды.

2. Найти площадь фигуры, заключенной между

Данная фигура ограничена графиками двухфункций:

дугами парабол

В этом случае искомаяплощадь вычисляется так

:

Вычисление объёмов тел с помощью интеграла

Пример.

Пусть Т— тело вращения, образованное вра-щением криволинейной трапеции вокруг осиабсцисс. Найти объем тела Т.Решение.

тогда

где S (х) — площадь сечения

Тело вращения изображено на рисунке.В качестве плоскости я выберем плоскость ху

.

f(x), значит,

Но тогда

данного тела плоскостью, проходящей через точку x на оси абсцисс (а < х <b)и параллельной плоскости ху. Это сечение есть круг радиуса

Иногда

пишут так:

Приведенные ниже примеры демонстрируют наиболее типичныеслучаи нахождения определенного интеграла.

Пример №1. Нахождение определенного интеграла с помощью формулы Ньютона- Лейбница

Пример №2. Нахождение определенного интеграла методом замены переменнойинтегрировани

я

Введем новую переменную интегрирования:

Заменим пределы интегрирования относительно новой переменной t:

Пример №3. Нахождение определенного интеграла методом интегрирования почастям.

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

• Соотношения между перемещением S и скоростью v:

Так как скорость характеризует быстроту процесса, то, зная, к примеру, скорость ростаклеток, размножения бактерий, радиоактивного распада, ...можно определит

ь

соответствующие зависимости от времени количества образующихся клеток, бактерий,распавшегося вещества и т.д., используя метод интегрирования.

•Соотношения между работой А, мощностью N и силой F:

• Соотношения между массой m и плотностью р:

• Соотношения между электрическим зарядом q и силой тока I:

• Соотношения между теплоёмкостью с и количеством теплоты Q:

Описание движения вязкой жидкости, крови по сосудам, распределениядавления крови в сердечнососудистой системе, тепловых, электрических,магнитных, оптических процессов, связанных с жизнедеятельностьюорганизма, требует применение интегрирования.