Лекции по вышмату за 1 курс
.pdfчерез фокус, направив е¼ от директрисы к фокусу. Расстояние от директрисы до фокуса F обозначим через p и назов¼м его параметром параболы.
Начало координат возьм¼м в середине отрезка, соединяющего фокус с директрисой, и направим ось Oy так, чтобы система координатных осей xOy была бы правая (рис. 3.3.3). Опустим из точки M(x; y) на параболе перпен-
! !
дикуляр на директрису. Пусть N - его основание. Ясно, что NM = F M
, откуда следует y2 = 2px. Это уравнение называется каноническим урав-
нением параболы. Парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через начало координат.
Пример 33 Найти уравнение траектории точки, которая перемещаясь по плоскости xOy, оста¼тся в два раза дальше от точки A( 3; 0), чем от
начала координат. (рис.3.3.4)
|
|
Решение Текущую точку на искомой траектории обозначим |
M(x; y). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В силу условия задачи |
|
AM = 2 OM . |
AM = (x + 3)i + yj, OM = xi + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
; |
|
AM = (x + 3) |
2 |
+ y |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2, значит |
(x + 3) |
2 |
+ y |
2 |
= |
|||||||||||||||||||||
yj |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
+ 4y2, откуда |
||||||||
|
|
2 |
|
2. Возведя в квадрат, |
получим |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 x |
|
+ y |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x + 3) + y |
|
= p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
следует |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
. Имеем |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x + 6x + 9 + y |
|
= 4x |
+ 4y |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
+ 3y |
|
|
|
6x = 9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Упрощаем: x2 + y2 2x = 3. |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ 1 + y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Выделяем полный квадрат: |
2x |
|
2 |
2x |
|
|
= 3 + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Окончательно имеем: (x 1) |
|
2. Получили окружность. (рис.3.3.5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+y |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 34 Найти сторону квадрата, вписанного в данный эллипс (рис. 3.3.6)
x2 |
+ |
y2 |
= 1: |
42 |
|
||
32 |
|
Решение В силу симметрии эллипса вершины квадрата, вписанного в эллипс, имеют координаты: M1(m; m), M2( m; m), M3( m; m), M4(m; m),
(m > 0). Искомая длина стороны квадрата d = 2m. Координаты точки M1 удовлетворяют уравнению эллипса, потому имеем
m2 + m2 = 1 ) 32m2 + 42m2 = 32 92 ) m = 2; 4: 42 32
Итак, длина стороны квадрата d = 4; 8.
Пример 35 Найти уравнение траектории точки, которая, перемещаясь по плоскости xOy, оста¼тся в два раза дальше от точки A(4; 0), чем от
прямой x = 1. (рис. 3.3.7)
|
|
|
Решение Рассмотрим вектора |
! |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
! |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
AM = (x |
4)i |
|
yj è BM = (x |
1)i. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Должно быть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1)2. После упрощения имеем гиперболу |
||||||||||||||||||||||||||||
квадрат, получим |
(x |
|
4)2+y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AM |
|
|
|
|
= 4(x |
|
p |
|
4)2 + y2 |
= 2 |
|
x |
|
1 |
|
. Возводя в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 BM |
|
, ò.å. (x |
|
j |
|
j |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
. (ðèñ.3.3.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
42 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 36 Найти уравнение траектории точки, которая, перемещаясь
по плоскости xOy, равноудалена от точки A(2; 1) и от оси ординат. (рис.3.3.8)
51
Решение Рассмотрим векторы ! |
|
|
|
|
|
! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM = (x |
2)i + (y |
1)j è BM = xi. |
||||||
|
AM = ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По условию задачи |
p4 |
y2 |
|
2y + 1 = 4x |
j 4j ) |
||||||||||||
(x 1)2 + (y 1)2 = x2 |
!y2 2y + 1 = 4x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BM, значит |
|
|
(x |
2)2 + (y 1)2 = |
x |
|||
|
1) |
2 |
|
|
|
) |
|
|
|
) |
|
|
|
) |
|||
(y |
|
= 4(x 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
x 1 = X |
, y |
1 = Y , тогда относительно системы координат |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
XO1Y имеем параболу Y |
= 4X. (ðèñ.3.3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 Общее уравнение кривой второго порядка
Рассмотренные выше кривые 2-го порядка имеют канонические уравнения только относительно системы координат, специальным образом связанной с этой кривой. Относительно произвольно расположенной системы координат каждой из этих кривых соответствует некоторое уравнение второго порядка
âèäà
a11x2 + 2a12xy + a12y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0;
которое называется общим уравнением кривой второго порядка . При каждом конкретном наборе коэффициентов это уравнение является либо уравнением эллипса (окружности), либо гиперболы, либо параболы. Заметим, что этому уравнению может и не соответствовать никакая кривая 2-го порядка (вырожденный случай), но если этому уравнению соответствует какая-нибудь кривая, то это непременно какая-нибудь из перечисленных кривых второго порядка: эллипс, гипербола или парабола.
17.1Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей
Пусть оси O1X è O1Y координатной системы O1XY параллельны осям Ox и Oy исходной системы координат Oxy. Допустим, что точка M в исходной системе координат имеет координаты x и y, т.е. M(x; y); относительно же системы O1XY та же точка имеет координаты X и Y , т.е. M(x; y) и M(X; Y ). Установим связь между старыми координатами (x; y) точки и е¼ новыми координатами (X; Y ). Из чертежа видно, что r = OO1 + R. Åñëè O1(a; b) - относительно системы Oxy, то ясно, что y = Y + b; x = X + a.
Эти формулы являются формулами преобразования координат при параллельном переносе координатных осей.
Пример 37 Выполнив параллельный перенос координатных осей, привести уравнение кривой y = x2 2x + 2 к каноническому виду. Сделать
рисунок кривой в исходной системе координат.
Решение Выполним параллельный перенос координатных осей, положив x = X + a, y = Y + b, где (a; b) - координаты нового начала системы
координат O1XY . Параметры a и b определим, потребовав, чтобы после
параллельного переноса уравнение кривой стало бы простейшим (канони-
ческим).
Имеем: Y +b = (X +a)2 2(X +a)+2 ) Y = X2 +2aX +a2 2X 2a+2 b ) Y = X2 + (2a 2)X + a2 2a b + 2:
52
Приравняем в этом уравнении к нулю коэффициент при X и свободный член, получим координаты точки O1:
a2 2a b + 2 = 0 |
) |
|
2a 2 = 0 |
|
a = 1; b = 1: |
Окончательно имеем каноническое уравнение кривой X2 = Y . Очевидно, что это парабола. (рис. 3.4.2)
17.2Формулы преобразования координат при повороте координатных осей
Поверн¼м исходную систему координат Oxy на угол , и пусть она займ¼т
положение Ox1y1 (рис. 3.4.3). Обозначим через r радиус-вектор точки M. Очевидны соотношения:
x = jrj cos( + ) = jrj cos cos jrj sin sin = x1 cos y1 sin ;
y = jrj sin( + ) = jrj sin cos jrj sin cos = x1 sin + y1 cos :
Окончательно: x = x1 cos y1 sin
y = x1 sin + y1 cos
Эти формулы являются формулами преобразования координат при повороте координатных осей на угол .
Пример 38 Выполнив поворот координатных осей, привести уравнение кривой xy = 2 к каноническому виду. Сделать рисунок кривой в исходной
системе координат. (рис. 3.4.4)
Решение Выполним поворот координатных осей, положив
y = x1 sin + y1 cos |
|
x = x1 cos y1 sin |
: |
Уравнение данной кривой примет вид:
(x1 cos y1 sin )(x1 sin + y1 cos ) = 2:
Раскрывая скобки, получим:
x21 sin cos + (cos2 sin2 )x1y1 y12 cos sin = 2:
Поверн¼м координатные оси на такой угол , чтобы в уравнении ис-
чезло слагаемое, содержащее произведение x1y1. Для этого нужно решить уравнение cos2 sin2 = 0.
Наименьшее значение угла , удовлетворяющего этому уравнению, есть
p
|
sin = cos = |
2 |
|
|
|
|
|
4 . Принимая во внимание, что |
2 , получим каноническое |
уравнение данной кривой относительно системы координат Ox1y1. Получим равнобочную гиперболу. (рис. 3.4.4)
53
17.3Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Если кривая второго порядка задана своим общим уравнением
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0;
то это уравнение можно привести к каноническому виду, выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, прич¼м поворот координатных осей осуществляют, выбирая такой угол поворота , чтобы в уравнении
относительно новых координат исчез бы член с произведением x1y1. Èòàê, после поворота координатных осей уравнение кривой приобретает вид:
a011x211 + a022y12 + 2d1x1 + 2d2y1 + f = 0:
Теперь можно делать следующий шаг: параллельный перенос осей. При этом координаты нового начала выбирают таким образом, чтобы упростились линейные члены и свободный член уравнения. Можно показать, что тип кривой можно определить сразу, вычислив определитель
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
a21 |
a22 |
: |
|
|
При этом, если > 0, то кривая |
называется |
кривой эллиптического |
типа и может оказаться эллипсом; если < 0, то кривая называется кривой гиперболического типа и может оказаться гиперболой; если = 0,
то кривая называется кривой параболического типа и может оказаться параболой.
Возможны и другие, так называемые вырожденные случаи.
Пример 39 Выполнив параллельный перенос и поворот координатных осей, привести к каноническому виду уравнение кривой
3x2 2xy + 3y2 + 4x + 4y 4 = 0
и сделать рисунок в исходной системе координат. (рис. 3.4.5)
Решение Выясним прежде всего тип кривой. Вычислим дискриминант
= |
|
a21 |
a22 |
|
= |
|
|
1 3 |
|
= 32 |
|
( |
|
1)2 = 8; > 0; |
|
|
a11 |
a12 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. наша кривая - кривая эллиптического типа.
1.Выполним параллельный перенос координатных осей по формулам x = X + a, y = Y + b. Получим:
3(X + a)2 2(X + a)(Y + b) + 3(Y + b)2 + 4(X + a) + 4(Y + b) 4 = 0:
После преобразования коэффициентов имеем:
3X2 2XY +2Y 2+(6a 2b+4)X+( 2a+6b+4)Y +3a2 2ab+3b2+4a+4b 4 = 0:
54
Выберем координаты нового начала таким образом, чтобы аннулировались линейные слагаемые. Для этого нужно положить равным нулю коэффициенты при X и Y . Итак, имеем систему:
6a 2b = 4
) a = 1; b = 1:
2a + 6b = 4
Итак имеем начало новой системы координат XO1Y в точке O1( 1; 1). В этой системе координат наша кривая имеет уравнение
3X2 + 3Y 2 2XY = 4:
2. Выполним теперь поворот координатных осей по формулам
Y = x1 sin + y1 cos |
|
X = x1 cos y1 sin |
; |
тогда получим:
3(x1 cos y1 sin )2+3(x1 sin +y1 cos )2 2(x1 cos y1 sin )(x1 sin +y1 cos ) = 4;
откуда следует:
(3 cos2 +3 sin2 2 sin cos )x21+2(sin2 cos2 )x1y1+(3 sin2 +3 cos2 +2 sin cos )y12 = 4:
Выберем угол поворота таким образом, чтобы в уравнении исчезло
слагаемое с произведением x1y1, т.е. положим sin2 cos2 = 0. Íàè-
меньший угол , удовлетворяющий этому уравнению = 4 . Тогда уравнение кривой имеет вид: 2x21 + 4y12 = 4. Запишем его в канониче-
ской форме:
x12 |
+ |
y12 |
= 1: |
||||
(p |
|
|
|
|
|||
12 |
|||||||
2)2 |
Очевидно, что это эллипс. (рис.3.4.5)
18Уравнение линии на плоскости и в пространстве
18.1 Кривые, заданные пересечением поверхностей
Всякую линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей:
L : F2 |
(x; y; z) = 0 |
: |
F1 |
(x; y; z) = 0 |
|
Итак, линию в пространстве можно рассматривать как множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе уравнений. Например две плоскости P1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 è P2 : A2x + B2y + C2z + D = 0
пересекаются по прямой линии L, т.е. прямую линию L можно задать такой системой уравнений:
L : A2x + B2y + C2z + D2 |
= 0 |
: |
A1x + B1y + C1z + D1 |
= 0 |
|
55
18.2 Параметрические уравнения кривых
Кривую линию L на плоскости или в пространстве можно задать как траекторию движущейся точки, координаты которой задаются в виде
9
x = x(t)
=
y = y(t) : (33) z = z(t) ;
Здесь параметр t часто имеет смысл времени, а система уравнений (33) называется системой параметрических уравнений данной кривой .
Пример 40 Нарисовать кривую, заданную параметрическими уравнени-
ÿìè |
: |
y = b sin t |
|
x = a cos t |
|
Решение Очевидно, что достаточно взять промежуток изменения параметра t 2 [0; 2 ], т.к. cos t и sin t 2 -периодические функции. Составим
таблицу изменения значений x(t) и y(t) в зависимости от значений параметра t.
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
3 |
7 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
x(t) |
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
0 |
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
a2 |
a |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(t) |
0 |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
0 |
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
0 |
|||||||||||||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
b2 |
b |
|
|
b |
|
|
b |
b |
|
|
b |
|
|
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
Оста¼тся теперь в системе координатных осей Oxy нанести точки с ко- |
|||||||||||
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|||||
ординатами (0; 0), (a |
|
|
; b |
2 ), (a |
|
|
; b |
|
|
), и нарисовать кривую, прохо- |
|
2 |
2 |
2 |
дящую через эти точки (рис.3.5.1), прич¼м очевидно, что когда параметр t возрастает от 0 до 2 , точка обходит контур данной замкнутой кривой
против часовой стрелки.
Запишем данные параметрические уравнения так: xa = cos t; yb = sin t. Возвед¼м теперь в квадрат каждое из уравнений и сложим их, тогда
получим: |
x2 |
|
y2 |
|
|
+ |
= 1; |
||
|
a2 |
b2 |
||
|
|
|
т.е., исключив параметр t, мы получим канонические уравнения эллипса.
Пример 41 Нарисовать пространственную кривую
y = a sin t |
9 |
: |
x = a cos t |
= |
|
z = t |
|
|
|
; |
|
Решение Заметим, что параметрическим уравнениям
x = a cos t
:
y = a sin t
на плоскости соответствует окружность радиуса a, а в пространстве мы по-
лучаем винтовую линию, прич¼м расстояние между двумя соседними витками h = 2 , оно называется шагом винта. На рис.3.5.2 изображена вин-
товая линия, прич¼м стрелкой показано направление движения точки по мере возрастания t.
56
18.3 Уравнения кривых в полярных координатах
Исходя из некоторой точки 0(полюса), провед¼м ось Op, называемую полярной осью. Пусть точка M лежит на плоскости.
Из полюса провед¼м радиус-вектор r. Обозначим через угол, отсчиты-
ваемый от полярной оси по направлению к радиус-вектору против часовой стрелки (рис.3.5.3). Положение точки M на плоскости однозначно опреде-
лено параметрами r и , где r - длина радиус-вектора. Ясно, что r 0,
0 2 .
Совместим теперь начало декартовой системы координат xOy с полюсом, а полярную ось Op направим вдоль оси Ox (рис.3.5.4). Тогда нетрудно установить связь между декартовыми и полярными координатами: x = r cos ; y = r sin .
Часто из соображений большей наглядности или простоты выкладок бывает удобно учитывать связь между декартовыми и полярными координатами, переходить от уравнения кривой в декартовых координатах к е¼ уравнению в полярных координатах и наоборот.
Пример 42 Изобразить кривую r = sin 3 и найти е¼ уравнение в декартовых координатах.
Решение Прежде всего заметим, что r 0, если 3 2 [0; ] [ [2 ; 3 ] [
[4 ; 5 ], ò.å. 2 [ ; 2 ] [ [3 ; 4 ] [ [5 ; 6 ].
Если 3 2 [ ; 2 ] [ [3 ; 4 ] [ [5 ; 6 ], то оказывается r < 0, значит в
областях, где 2 [ 3 ; 23 ] [ [ ; 43 ] [ [53 ; 2 ] кривая не лежит, их следует исключить из рассмотрения.
Вычисляя значения r для указанных областей изменения , получим
множество точек, называемое тр¼хлепестковой розой. (рис. 3.5.5)
Найд¼м теперь уравнение этой кривой в декартовых координатах. Напомним, что (cos ' + i sin ')3 = cos 3' + i sin 3', с другой стороны, (cos ' +
i sin ')3 = cos3 '+3i cos2 ' sin ' 3 cos ' sin2 ' i sin3 ' ) ) sin 3' = 3 cos2 ' sin ' sin3 '.
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
Òàê êàê cos ' = r |
= |
p |
|
; sin ' = r |
= |
p |
|
, то получим уравнение |
|||||||||||||||
x2+y2 |
x2+y2 |
||||||||||||||||||||||
кривой в декартовых координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
||
px2 + y2 |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x2 + y2 |
p |
|
|
(x2 + y2) |
|
|
|
||||||||||||||||
x2 + y2 |
x2 |
+ y2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
p |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
= 3x y |
y : |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
) (x + y |
|
|
|
|
|
Заметим, что изобразить кривую по е¼ уравнению в таком виде довольно трудно.
Пример 43 Нарисовать кривую r = sin ' и найти е¼ уравнение в декартовых координатах.
Решение Заметим, что sin 2 -периодическая функция. Бер¼м промежуток изменения для ' 2 [0; ], т.к. в этом промежутке sin ' 0. Ясно, что кривая лежит в верхней полуплоскости. Составим таблицу для значений r в зависимости от ':
57
|
' |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
6 |
4 |
|
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
1 |
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
0 |
|
||
|
r |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
3 |
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теперь можно нарисовать данную кривую, проводя из полюса лучи под |
||||||||||||||||||||||||||||
углом ' = 0; 6 ; 4 ; |
; и откладывая на этих лучах значения соответ- |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ственно равные 0; 2 ; |
|
|
|
; . Получим набор точек, через которые оста¼тся |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
провести нашу кривую. (рис.3.5.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найд¼м уравнение этой кривой в декартовых координатах; |
||||||||||||||||||||||||||||
Ò.ê. x = r cos ', y = r sin ', òî ÿñíî, ÷òî |
sin ' = |
yr , x2 + y2 = r2 ) |
p
r = x2 + y2, а тогда данная кривая r = sin ' в декартовых координатах имеет уравнение
p |
|
= |
|
|
|
y |
) x2 + y2 = y ) x2 + y2 y = 0: |
|||||||||||||||
x2 + y2 |
||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 + y2 |
||||||||||||||||||||||
Выделим полный квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|||||||||||
x2 + y2 2 |
|
y + |
|
|
= |
|
) x2 + y |
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|||||
2 |
4 |
4 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
Получим каноническое уравнение окружности радиуса r = |
1 |
с центром |
||||||||||||||||||||
â ò. O(0; 1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 Поверхности второго порядка
19.1 Эллипсоид
Определение 29 Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1; (a > 0; b > 0; c > 0): |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
Исследуем форму данной поверхности. Заметим, что координаты ( x), ( y), ( z) удовлетворяют этому уравнению, значит данная поверхность симметрична относительно тр¼х координатных плоскостей xOy, xOz, yOz.
С координатными осями поверхность пересекается в точках (a; 0; 0) и ( a; 0; 0); (0; b; 0) и (0; b; 0); (0; 0; c) и (0; 0; c). Параметры a, b и c называются полу-
осями эллипсоида. Более подробно форму поверхности можно исследовать методом сечений. Например, если провести сечение поверхности плоскостью z = h(h > 0; h < c), получим кривую
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
: |
|
|
|
|||
|
|
a2 |
b2 |
|
cz = h |
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
+ y |
|
+ z2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
) |
|||
В плоскости z = h имеем кривую xa2 |
+ yb2 |
= 1 hc2 |
||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
= 1: |
||||
|
aq |
|
|
|
|
|
2 |
bq |
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
1 |
h2 |
|
|
|
|
|
1 |
h2 |
|
|
|
|
|||||||
|
c2 |
|
|
|
c2 |
|
|
|
58
Ясно, что это есть эллипс. В любой плоскости, параллельной координатным плоскостям, мы имеем эллипсы, отсюда и название данной поверх-
ности.
В частности, если a = b = c, то эллипсоид превращается в сферу x2 + y2 + z2 = a2, т.е. сфера является частным случаем эллипсоида. Если равны любые две полуоси, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения.
19.2 Однополостный гиперболоид
Определение 30 Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
x2 |
+ |
y2 |
|
z2 |
= 1; (a > 0; b > 0; c > 0): |
a2 |
b2 |
c2 |
Для исследования формы этой поверхности применим метод сечений, т.е. пересеч¼м эту поверхность различными плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1. |
+ yb2 zc2 = 1 |
|||||
xa2 |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
x = 0 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
да¼т нам в плоскости yOz гиперболу |
|
|||||
|
|
y2 |
|
z2 |
= 1 |
|
|
|
b2 |
c2 |
|
2. Аналогично в плоскости xOz имеем гиперболу
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
z2 |
= 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
c2 |
|
|
|||||||||
3. В плоскости z = 0 имеем эллипс |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 1(горловина) |
|
|
||||||||
2 |
b |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Сечение z = h(h > 0) да¼т нам эллипс |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
y2 |
|
= 1 |
||||
a |
|
|
|
|
|
2 |
|
b |
|
|
|
2 |
|||||||
1 + hc22 |
|
|
|
1 + hc22 |
|
|
|||||||||||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что полуоси этого эллипса возрастают по мере удаления от начала координат.
5.В сечениях плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz получим гиперболы. Результаты такого исследования поз-
воляют нам нарисовать поверхность (рис. 3.6.2), которая вытянута вдоль оси Oz.
59
19.3 Двуполостный гиперболоид
Определение 31 Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид (рис.3.6.3).
x2 |
y2 |
|
z2 |
= 1; (a > 0; b > 0; c > 0) |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
Исследуем форму этой поверхности методом сечения.
1. Положим в уравнении x = 0, получим
y2 |
z2 |
= 1 |
||
|
|
|
|
|
b2 |
c2 |
Это соотношение не имеет смысла, т.к. сумма квадратов не может быть отрицательным числом. Это означает, что данная поверхность не пересекается с координатной плоскостью yOz.
2. Положим в уравнении y = 0, получим
|
x2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
= 1; |
|
a2 |
c2 |
||
т.е. в координатной плоскости xOz мы имеем гиперболу. |
3. |
В координатной плоскости xOy получим также гиперболу |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
z2 |
= 1: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
c2 |
|
|
|
|
||||||
4. |
В сечении плоскостями x = h; (h > a) получим эллипсы |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
z2 |
|
= 1 |
||||
|
bq |
|
|
|
|
2 |
cq |
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
h2 |
1 |
|
|
|
|
h2 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
a2 |
|
|
|
a2 |
|
|
Рассмотрим и другие сечения, приходим к выводу, что данная поверхность вытянута вдоль оси Ox и представляет собою две (отдельные) поло-
ñòè. (ðèñ. 3.6.3)
19.4 Эллиптический параболоид
Определение 32 Эллиптическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнения которой имеет вид
x2 + y2 = 2z; (p > 0; q > 0) p q
Исследуем форму этой поверхности. Прежде всего заметим, что z > 0 для любых x и y, отличных от нуля, причем z = 0, если x = 0 и y = 0.
Это означает, что поверхность проходит через начало координат и лежит в верхнем полупространстве.
60