§ 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество
Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие.
Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z.
Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
N0 – множество целых неотрицательных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов.
Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А» записывают так: а А, причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А», «множество А содержит элемент а». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: а А (иначе: «а не является элементом множества А», «множество А не содержит элемент а»).
Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравнения х + 8 = 0.
Множества могут быть конечными и бесконечными.
Множество называется конечным, если существует натуральное число п, такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п. в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел.
§ 2. Способы задания множеств
Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г.
Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}.
Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов.
Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием.
Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы.
При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {ххN, х < 5}.