28) Выбор альтернатив в многокритериальных задачах

Выбор в условиях нескольких критериев. Сложность отыскания наилучшей альтернативы возрастает, когда необходимо рассматривать альтернативы не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой (q_i(x), i = 1,2,3...,р.). Теоретически можно представить себе случай, когда во множествеХокажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями р всех критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются.

Например, выбор конструкции самолета предполагает учет многих критериев: технических (высота, скорость, маневренность, грузоподъемность), безопасности полетов, технологических, экологических, экономических, эргономических.

Способы выбора альтернатив при нескольких критериях:

• сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

• условная максимизация

• поиск альтернативы с заданными свойствами

• нахождения множества Парето.

Рассмотрим сведение многокритериальной задачи к однокритериальной (когда необходимо множество критериальных функций свернуть в единый количественный признак). Введе­ние суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента: q₀(x)=q₀(q₁(x),q₂(x),…q_p(x))

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине, выделив тем самым наилучшую (по этому критерию) альтернативу. Вид функции определяется так, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий.

q₀(x)=

Коэффициент с_jотражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий. Задача сводится к максимизации суперкритерия:

x^* = arg max q₀(q₁(x), q₂(x),….q_p(x)) приxX

ПРИМЕР. На рис. 1 множеству Хсоответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериевq₁ иq₂; оба критерия желательно максимизировать.

Трудности и недостатки метода.Даже очень малое изменение суперкритерия, может привести к тому, что новая оптимальная альтернатива будет очень сильно отличаться от старой.

Пример:на рисунке 1 видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной функции (2).

На рисунке направления, соответствующие суперкритериям изображены стрелками.

поиск альтернативы с заданными свойствами.

Здесь возможно задавать желательные значения критерия как точно, так и в виде верхних или нижних границ.

Идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с определенной альтернативы, приближаться к х*по некоторой траектории в пространствеХ. Для этого вводится числовая мера близости между очередной альтернативой хи цельюх*, т.е. между векторамиq(x)=(q₁(x),q₂(x),….q_p(x)) и

S(q,) =min_i(q_i - )+_p+1,

i

где считается, что q_i  ,_i- коэффициенты, приводящие слагаемые к одинаковой размерности и одновременно учитывающие равную важность критериев;_p+1 учитывает наше отношение к тому, что важнее - увеличить близость к цели любого из частных критериев или же суммарную близость всех критериев к целевым значениям. Поскольку уровни притязаний задаются без точного знания структуры множестваXв пространстве частных критериев, целевая точка может оказаться как внутри, так и внеХ. Это соответствует достижимой или недостижимой цели(соответственно точких₁* и х₂*).