Задания для самостоятельной работы

1. Приведите уравнение эллипса к каноническому виду:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

2. Дано каноническое уравнение эллипса. Найдите большую и малую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:

а) ;

б) .

3. Постройте изображение эллипса, его фокусов и директрис:

а) ;

б) .

§ 29. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек иравно длине данного отрезка, где.

Коротко можно записать определение гиперболы так:

. (39)

Точки иназываютсяфокусами гиперболы, а расстояние между ними - фокальным расстоянием.

Если  точка данной гиперболы, то отрезки и(а также их длины) называютсяфокальными радиусами точки .

Пусть на плоскости даны две различные точкии. Обозначим черезсе­редину отрезка. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, где(рис. 90).

Выведем уравнение гиперболы с фо­кусамиив системе координат.

Пусть .

Замечание. Так как , то для гиперболы всегда, т.е.

.

Пусть . Так какв, то

.

По определению гиперболы . Преобразуем это уравнение:

;

;

;

;

;

.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

;

;

.

Разделим обе части этого уравнения на :

.

Так как для гиперболы , то. Положим. Тогда

, где . (40)

Итак, доказано, что если , то координаты точкиудовлетворяют урав­нению (40).

Докажем, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (40), то она принадлежит гиперболе.

Пусть , где ,  координаты точки .

Найдем . Выразимиз уравне­ния:

.

Найдем

.

Аналогично .

при

при

Тогда .

Из условия (39) следует, что .

Итак, уравнение (40) есть уравнение гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.

Пользуясь каноническим уравнением гиперболы, докажем геометрические свойства гиперболы, которые понадобятся для построения изображения гиперболы.

Свойства гиперболы

1. Из уравнения (40) следует, что или. Следовательно, все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямымии(рис. 91).

2. Симметрия относительно начала координат и осей координат.

Пусть и . Из первого тождества следует, что, из второго – что, из третьего – что, а это означает, что гиперболасимметрична относительно начала координат, осии осисоответственно. Таким образом, точкаявляетсяцентром симметрии, оси и осями симметрии гиперболы .

Прямая, проходящая через фокусы, называется действительной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – мнимой осью симметрии гиперболы.

3. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии.

Чтобы найти точки пересечения гиперболы с осью, надо решить систему их уравнений:

Решая систему, получаем: .

Аналогично находим, что .

Точки пересечения гиперболы со своими осями симметрии называются вершинами гиперболы. Таким образом, гипербола имеет две вершины.

Отрезки иназываются соответственнодействительной и мнимой «осями» гиперболы, а положительные числа и действительной и мнимой «полуосями» гиперболы.

4. Найдем точки пересечения гиперболы с прямой .

Для этого решим систему

Получаем уравнение . Корни это абсциссы точки пересечения прямой с. Рассмотрим три случая:

1. Если , т.е., тоиимеют две общие точки;

2. Если , т.е., то;

3. Если, т.е., то.

Следовательно, все точки гиперболы расположены в заштрихованных областях (рис. 92). Гипербола имеет две ветви.

Случаю 3) соответствуют две прямые ис угловыми коэффи-

циентами и. Эти прямые (и) называютсяасимптотами гиперболы.

При неограниченном возрастании абсолютной величины абсциссы точки гиперболы точканеограниченно приближается к асимптоте.

Учитывая свойства 1- 4, построим изображение гиперболы (рис. 93):

Число называетсяэксцентриситетом гиперболы. Так как для гиперболы , то. Чем больше, тем больше гипербола «вытянута» вдоль мнимой оси.

Гипербола, у которой , называетсяравносторонней. Ее каноническое уравнение . Уравнения ее асимптот.

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии .

Уравнения директрис:

или ;

или (рис. 94).

Гипербола обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей гиперболе, отношение расстояния отдо фокуса к расстоянию отдо соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.

(рис. 94).

Замечание 1. Директрисы гиперболы не имеют общих точек с гиперболой.

Гипербола называетсясопряженной к гиперболе . Ее мнимой осью является ось(на рис. 94 она изображена пунктиром).