Тема 8. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний, содержащих кванторы Контрольные вопросы по теории

1. Как можно предикат превратить в высказывание?

2. Приведите примеры слов, которые используются в качестве кванторов общности и существования.

3. Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих кванторы?

4. Как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы?

Практические задания

1. Среди следующих предложений выделите высказывания. а) 7 < х < 9. б) Существует такое натуральное число х, что 7 < х < 9. в) В треугольнике все стороны равны. г) В любом треугольнике все стороны равны. д) х – однозначное число, х Î N. е) Некоторые натуральные числа являются однозначными. ж) у = 5 является решением уравнения у – 4 = 1.

2. Какие из следующих высказываний содержат квантор общности, а какие – квантор существования? а) Все кустарники являются растениями. б) Существуют числа, кратные 3. в) В любом равностороннем треугольнике высоты совпадают с биссектрисами. г) Каждое натуральное число является целым. д) Найдется такое натуральное число х, что х < 3. е) В некоторых городах России число жителей превысило 1 миллион. ж) Хотя бы в одной из групп первого курса есть студенты, окончившие педучилище.

3. Даны предикаты: А (х): «студент х является отличником»; Е (х): «растение х – травянистое». Образуйте из них всевозможные высказывания при помощи кванторов общности и существования.

4. Прочитайте следующие высказывания: а) ( п Î N) п 3; б) (п Î N) п 7; в) ( п, т Î N) п т; г) (п Î N) ( т Î N) п т.

5. Даны двухместные предикаты: Р(а, b): «прямая а параллельна прямой b»; Q (а, ): «прямая а лежит в плоскости »; а) S (b, ): «прямая b параллельна плоскости ». Сформулируйте высказывания, имеющие следующую структуру:

a) () ( а) Q (а, );

б) () ( b) S (b, );

в) ( а) ( b) Р (а, b);

г) ( b) () S (b, ).

6. Запишите следующие предложения, используя символические обозначения кванторов.

а) Существует такое натуральное число х, что х + 5 = 9.

б) Каково бы ни было число х, х + 0 = х.

в) При некоторых натуральных значениях у имеет место равенство 3 – у = у – 1.

г) Любое действительное число х является решением неравенства х – 2 + 3 > 0.

д) Для любого значения х найдется такое значение у, что х – 5 = у.

е) Существуют такие натуральные числа с и d, что с · d = 6.

ж) Для любых действительных чисел х и у существует такое действительное число z, что x < z < y.

7. Среди следующих предложений укажите высказывания:

а) (х Î R) х + у = 5;

б) (х Î R) (y Î R) х + у = 5;

в) ( y Î R) (х Î R) х + у = 5;

г) (х Î R) ( y Î R) х + у = 5;

д) ( y Î R) х + у = 5;

е) ( х Î R) ( y Î R) х + у = 5.

8. Сформулируйте каждое из следующих высказываний в виде конъюнкции и найдите их значения истинности. а) Каждое из чисел 1, 2, 4 является корнем уравнения (х – 1) (х – 2) (х – 4) = 0. б) Все элементы множества X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} кратны 2. в) Названия всех частей света начинаются с гласной буквы.

9. Сформулируйте каждое из следующих высказываний в виде дизъюнкции и найдите их значения истинности. а) Среди чисел 21, 13, 44, 48 найдется число, кратное 3. б) Хотя бы одно из растений: тополь, клен, ель, боярышник – является деревом. в) Существует однозначное натуральное число, являющееся решением уравнения х² =121.

10. Какие из следующих высказываний равносильны конъюнкции, а какие – дизъюнкции высказываний?

а) Все студенты нашей группы присутствовали сегодня на занятиях.

б) Некоторые натуральные числа меньше 3.

в) Существуют четные числа.

г) Любой четырехугольник является квадратом.

д) Всякий параллелограмм есть ромб.

е) Найдутся треугольники, в которых одна из высот совпадает с медианой и биссектрисой.

ж) Хотя бы одно из чисел 13, 16, 21, 25, 44 является квадратом целого числа.

11. Найдите значения истинности следующих высказываний: а) Все числа множества X = {87, 89, 99, 100) двузначные. б) Каждое из множеств А = {1, 2, 3, 4}, В = {2}, С = {1, 3, 5} конечно. в) Хотя бы одно из множеств D = {а, м}, Е = {е, и, к}, F = {с, д, л, м} является подмножеством множества К = {а, б, в, г, д}. г) Некоторые из выражений 5 : 2, 5 + (7 – 8), 7: (4 – 1 – 3), 16 – (25 + 4) не имеют смысла на множестве N.

12. Известно, что высказывание ( х Î X) А (х) истинно. Следует ли отсюда истинность высказывания (х Î X) А (х)?

13. Следует ли истинность высказывания ( х Î X) А (х) из истинности высказывания (х Î X) А (х)?

14. Для доказательства каких из следующих утверждений необходимо провести рассуждения в общем виде, а для каких – достаточно привести пример?

а) В любом параллелограмме сумма величин противоположных углов равна 180°.

б) Найдется ромб, диагонали которого равны.

в) В некоторых треугольниках все высоты делят противоположную сторону пополам.

г) Для любого натурального числа п имеет место неравенство п² + 1 > 0.

д) Существуют тупоугольные треугольники.

е) Любое число, делящееся на 4, делится на 2.

15. Какие из следующих высказываний можно опровергнуть, приведя контрпример?

а) Все натуральные числа больше 2.

б) Любая фигура имеет центр симметрии.

в) Некоторые натуральные числа меньше нуля.

16. Докажите или опровергните следующие утверждения.

а) Разность любых двух натуральных чисел есть число натуральное.

б) Существуют правильные многоугольники.

в) Сумма любых трех последовательных чисел кратна 3.

г) Любое однозначное число является решением неравенства 2х – 25 < 0.

д) В некоторых параллелограммах диагонали не равны.

е) Среди чисел 15, 16, 27, 212 найдется хотя бы одно, кратное 7.

ж) Во всяком четырехугольнике диагонали равны.

з) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.

17. Образуйте отрицания следующих высказываний:

а) Некоторые глаголы отвечают на вопрос «что делать?»

б) Все однозначные числа больше 5.

в) Существует натуральное число, являющееся решением уравнения х + 3 = 0.

г) Некоторые геометрические фигуры являются ромбами.

д) Любое дерево есть растение.

е) Каждый треугольник является равнобедренным.

ж) Хотя бы одно из целых чисел превышает число 102 172.

з) Все студенты группы живут в общежитии.

и) Некоторые студенты группы не старше 20 лет.

к) Все студенты группы справились с контрольной работой по математике.

л) По крайней мере один из студентов является отличником.

18. Сформулируйте отрицания следующих высказываний и установите, что истинно – само высказывание или его отрицание:

а) Некоторые параллелограммы имеют центр симметрии и ось симметрии.

б) Все числа положительны или отрицательны.

в) Всякий параллелограмм является прямоугольником или ромбом.

г) Некоторые числа кратны 2 и 7.

19. Переформулируйте данные предложения так, чтобы они не содержали слов «неверно, что», но имели тот же смысл:

а) Неверно, что каждый четырехугольник является прямоугольником или трапецией.

б) Неверно, что хотя бы в одном прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны или делятся точкой пересечения пополам.

20. Сформулируйте предложения, которые начинаются словами «неверно, что» и имеют тот же смысл, что и данные:

а) Существуют прямые, которые не параллельны и не перпендикулярны.

б) Стороны любого четырехугольника не параллельны или не равны.

21. Опровергните следующие высказывания, доказав истинность их отрицаний: а) Любой параллелограмм есть ромб. б) Среди чисел множества X = {3, 5, 8, 12, 17} найдется хотя бы одно трехзначное. в) Каждое натуральное число имеет предшествующее.