Тема 7. Предикаты и операции над ними Контрольные вопросы по теории

1. Что называется высказывательной формой или предикатом?

2. Какие различают предикаты по числу входящих в них переменных? Приведите примеры.

3. Какое множество называют областью определения предиката?

4. Какое множество называют множеством истинности предиката?

5. Что называют конъюнкцией предикатов? Докажите равенство, связывающее область истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.

6. Дайте определения дизъюнкции, отрицания, импликации предикатов. Запишите равенства, связывающие области истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.

Практические задания

1. Среди следующих предложений укажите высказывания и предикаты и поясните свой ответ. а) 2 – натуральное число. б) Разность чисел х и 3 равна 7. в) 2³ > 3². г) х = 11 является решением неравенства 2х – 1 > 5. д) 3у + 5 < 12. е) Прямые параллельны. ж) Произведение чисел 2 и 7 равно 15. з) Хотя бы одно из чисел 1, 2, 3 является решением уравнения х² – 1 = 0. и) Число делится на 5. к) Для всех чисел х и у верно равенство х + у = у + х. л) Будьте здоровы! м) Некоторые студенты не выполнили домашнее задание. н) х² – 7х + 2.

2. На множестве N задан предикат С (х): «число х – делитель 12». Сформулируйте высказывания С (4), С (5), С (8) и найдите их значения истинности.

3. На множестве Z задан предикат В (у): «у + 3 < 5». Принадлежат ли его множеству истинности числа –2; 10; ?

4. Предикат «х > у» задан на множестве R. Назовите две пары чисел, при подстановке которых в предикат получается: а) истинное высказывание; б) ложное высказывание.

5. Изменится ли множество истинности предиката А (х): «х² – 4х – 5 = 0», если в качестве возможных значений переменной х рассмотреть: а) множество R; б) множество N?

6. Найдите множества истинности следующих предикатов:

а) В (х): «х < 7», х  N;

б) С (у): «у² > 0», у  R;

в) D (у): «4 < у  8», у  N;

г) Е (х): «х · у = 6», х, у  Z.

7. На множестве Z заданы предикаты А (х): «х > 5» и В (х): «х < 9». Сформулируйте конъюнкцию и дизъюнкцию этих предикатов. Прочитайте высказывания А (12)  В (12), А (15)  В (15) и найдите их значения истинности. Верно ли, что 7  Т _{А  В}? 7 Т _{А  В}?

8. Укажите значения истинности высказываний А (с)  В (с) и А (d)  В (d), если известно, что с  Т _{А  В}, а d  Т _{А  В}.

9. Укажите значения истинности высказываний А (с)  В (с) и А (d )  В (d), если известно, что с  Т _{А  В}, а d  Т _{А  В}.

10. Пусть предикаты А (х) и В (х) заданы на некотором множестве X. Известно, что d  Х. Сформулируйте условие, при котором: a) d  Т _{А  В}; б) d  Т _{А  В}; в) d  Т _{А  В}; г) d  Т _{А  В}.

11. Известно, что d  Т_А. Достаточно ли этого для того, чтобы утверждать, что: a) d  Т _{А  В}; б) d  Т _{А  В}?

12. Можно ли утверждать, что d  Т _{А  В}, зная, что d  Т _А ?

13. Можно ли утверждать, что d  Т _{А  В}, зная лишь, что d  Т _В?

14. На множестве А = {1; 2; 3; 4; ...; 20} заданы предикаты А (х): «число х кратно 5», В (х): «число х четное», С (х): «число х кратно 3», D (х): «число х составное». Сформулируйте следующие предикаты и найдите их множества истинности:

а) А (х)  В (х);

б) А (х)  В (х);

в) С (х)  D (х);

г) С (х)  D (х);

д) А (х)  В (х)  D (х);

е) А (х)  В (х)  D (х);

ж) А (х)  С (х)  D (х);

з) А (х)  С (х)  D (х).

15. На множестве X машин заданы предикаты: А (х): «машина х легковая», В (х) «машина х красного цвета», С (х): «номер машины х оканчивается цифрой 3». а) Сформулируйте предикаты А (х)  В (х); В (х)  С (х); (А (х)  В (х))  С (х); б) Докажите, что высказывания a  Т _{А  В} и a Ï Т_{В  С} истинны при условии, что а – легковая машина зеленого цвета. в) известно, что машина b принадлежит множеству истинности предиката А (х)  В (х)  С (х). Охарактеризуйте эту машину; г) докажите, что машина зеленого цвета с номером, оканчивающимся цифрой 4, не принадлежит множеству истинности предиката (А (х)  В (х))  С (х).

16. На множестве Z заданы предикаты Е (х): «х 3» иК (х): «число х при делении на 3 дает остаток 1». Найдите значения этих предикатов при х = 4; х = 6, х = 7, х = 9 и х = 10. Сравните их. Можно ли на основании полученных ответов утверждать, что Е (х) и К (х) являются отрицаниями друг друга? Найдите значения истинности высказываний Е (5) и К (5) и проверьте, правилен ли был ваш ответ.

17. На множестве R заданы предикаты D (х): «число х отрицательно» и Е (х): «число х положительно». Сравните значения истинности этих предикатов: а) при х, больших 0; б) при х, меньших 0; в) при х, равном 0. Можно ли на основании ваших ответов утверждать, что Е (х) – отрицание предиката D (х) на множестве R?

18. На некотором множестве X заданы предикаты А (х) и В (х). Известно, что при некотором значении а Î X высказывание А (а) истинно, а В (а) ложно. Следует ли отсюда, что А (х) и В (х) являются отрицаниями друг друга? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.

19. На некотором множестве X заданы предикаты А (х) и В (х). Известно, что при значении а Î Х эти предикаты обращаются в ложные высказывания. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что А (х) и В (х) не являются отрицаниями друг друга?

20. Для каждого из следующих предикатов сформулируйте его отрицание: а) С (х, у): «прямая х параллельна прямой у» (в множестве прямых плоскости); б) D (x, y, z): «у лежит между х и z» (в множестве точек на прямой); в) Е (х): «х > 8», х Î N; г) F (х): «х + 2 = 3», х Î R.

21. На рисунке изображены множества истинности предикатов А (х) и В (x). В каком случае предикаты А (х) и В (x) являются отрицаниями друг друга?

а) б) в)

19. Известно, что Т _А  Т _В  Т _С ≠ . Заштрихуйте множества истинности следующих предикатов: а)  (С (х)  В (х)); б) А (х)  .