Тема 4. Соответствия между двумя множествами Контрольные вопросы по теории

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.

3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X?

4. Что называют соответствием между множествами Х и Y?

5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?

6. Перечислите способы задания соответствий.

7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y?

8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?

9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?

10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.

Практические задания

1. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = {1; 2; 3}, а цифры единиц — мно­жеству В = {4; 5}.

2. Перечислите элементы, принадлежащие множеству X × Y если: a) X = {a; b; c}, Y = {k; l}; б) Х = {a; b}, Y = Х; в) Х = {a; b}, Y = .

3. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств X и Y, если:

а) Х ={–1; 0; 1; 2}, Y = {2; 3; 4};

б) Х ={–1; 0; 1; 2}, Y = [2; 4];

в) Х = [–1; 2], Y = {2; 3; 4};

г) Х = [1; 7], Y = [2; 6];

д) X = [–3; 2], Y = [0; 5);

е) X = R, Y = [–2; 2];

ж) X = (–3; 2], Y = R;

з) X = {2}, Y = R.

4. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОХ и проходящую через точку Р (–2; 3). Установите, де­картово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.

5. На координатной плоскости постройте полосу, ограниченную прямыми, проходящими через точки (–2; 0) и (2; 0) и парал­лельными оси ОY. Опишите множество точек, принадлежащих этой полосе.

6. На координатной плоскости постройте прямоугольник с вершинами в точках А (–3; 5), В (–3; 8), С (7; 5), D (7; 8). Опишите множество точек этого прямоугольника.

7. Даны множества: А = {а, b}, В = {с, d, е}, С = {с, f}. Докажите, что множества А  (В  С) и (А  В)  (А  С) равны.

8. Найдите декартово произведение множеств А = {2; 5} и В = {3; 6} и выделите из него подмножество пар, которое задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза».

9. Даны множества А = {2; 4; 6} и В = {3; 5; 7; 9}. Между ними установлено соответствие «число а больше числа b», а  А, b  В. Постройте граф и график этого соответствия.

10. На рисунках изображены графы соответствий между множествами А и В. Для каждого соответствия укажите область отправления, область прибытия, область определения и множество значений. Какое из соответствий является отображением множества А в множество В, отображением множества А на множество В, взаимно однозначным отображением множества А на множество В?

А В А В А В

а) б) в)

11. Между элементами множеств Х и Y задано соответствие. Определите, является ли оно отображением. Если является, то выясните, какого вида это отображение.

а) Х = {1; 3; 5; 7}, Y = {2; 14; 10}, R: «х меньше у в 2 раза»;

б) Х = {6; 8; 9; 12}, Y = {32; 36}, R: «х – делитель у»

в) Х = {10; 20; 30; 40}, Y = {42; 22; 52; 12; 32}, R: «х меньше у на 2»;

г) Х = {4; 6; 8; 9}, Y = {36; 16; 81; 64}, R: «квадрат числа х равен у»;

д) Х = {14; 21; 10}, Y = {2; 3; 7}, R: «х кратно у»;

е) Х = {11; 12; 13; 14; 15}, Y = {0; 1; 2; 3}, R: «у – остаток от деления числа х на 3».

12. Точке М отрезка АВ сопостав­ляется ее проекция M₁ на прямую р. Покажите, что в этом случае отрезок АВ отображается в прямую р. Каким будет образ отрезка АВ при этом отображении?

13. Отношение между отрезкамиАВ и A₁B₁ установлено так, как пока­зано на рисунке, где А  A₁, В B₁, Х  Х₁ и т.д. Покажите, что заданное отношение – отображение отрезка АВ на отрезок A₁B₁. Найдите образ точки Y и отрезка XY при этом отображении. Яв­ляется ли данное отображение взаимно однозначным?

14. Каждой точке X окружности со­ответствует точка Х₁ диаметра АВ, что XX₁  АВ. Задано ли при этом отображение окружности на диаметр? Является ли оно взаимно однозначным?

15. Докажите, что множества А и В равномощны, если: а) А – множество букв в слове «ко­лос», В – множество цифр числа 34 574; б) А – множество дней недели, В – множество, элементами которого являются буквы а, b, с, d, e, f, k.

16. Приведите примеры множеств, равномощных множеству: а) ног у кошки; б) цифр от 0 до 9.

17. Прочитайте следующие выска­зывания о множествах А и В и укажи­те истинные: а) если А = В, то А ~ В; б) если А ~ В , то А = В.

18. Даны две окружности с общим центром О, между которыми за­дано отношение: точке А окружности с меньшим радиусом ставится в соответствие точ­ка A₁ другой окружности, которая ле­жит на луче ОА. Установите, является ли это соответствие отображением одной окружности на другую. Сделайте вывод о равномощности данных окружностей.

19. X – множество окружностей плоскости, Y – множество точек этой плоскости. Отношение между множествами X и Y зада­но так: «окружность х имеет центр у». Равномощны ли множества X и Y?

20. Выделите из множества натуральных чисел четыре равномощных ему подмножества.

21. Докажите, что данные множества являются счетными: а) нечетных натуральных чисел; б) целых неотрица­тельных чисел; в) квадратов натуральных чисел; г) натуральных чисел, кратных 5.