Тема 3. Разбиение множества на классы. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств Контрольные вопросы по теории

1. При каких условиях считают, что множество разбито на классы?

2. Как определить число элементов в объединении двух или трех конечных множеств?

Практические задания

1. Из множества Р = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} выделили подмножества А, В и С. Выясните, в каком случае произошло разбие­ние множества Р на классы:

а) А = {1; 3; 5}, В = {2; 4; 6; 8}, С = {7; 9};

б) А = {5}, В = {3; 4; 8; 9}, С ={1; 6};

в) А = {1; 3; 5}, В = {2; 4; 6; 8}, С = {5; 7; 9};

г) А = {1; 3}, В = {4; 6; 8}, С = {5; 6; 9}.

2. Выясните, в каких случаях классификация выполнена правильно:

а) треугольники делятся на прямоугольные, тупоугольные и остроугольные;

б) треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние;

в) углы делятся на острые, прямые и развернутые;

г) целые числа можно разбить на натуральные числа, число 0 и отрицательные целые числа;

д) натуральные числа делятся на однозначные, двузначные и трехзначные;

е) параллелограммы могут быть прямоугольниками, квадратами и ромбами.

3. Из множества Т треугольников выделили два подмножества: Х – прямоугольных треугольников и Y – равнобедренных треугольников. Постройте для данных множеств круги Эйлера и установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество Т. Все множества, изображенные этими областями, задайте описанием характеристического свойства.

4. Разбейте множество четырехугольников на классы: а) по какому-либо одному свойству; б) по двум свойствам. Укажите эти свойства, для каждого случая постройте круги Эйлера, установите число непересекающихся областей и выясните, какие множества изображаются этими областями.

5. Множества Р ромбов, Т треугольников и К многоугольни­ков, имеющих угол 30°, являются подмножествами множества М многоугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств, установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М, и для всех множеств, изображенных этими областями, укажите характеристическое свойство

6. Из множества натуральных чисел выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 4. Постройте круги Эйлера для указанных множеств; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества натуральных чисел; укажите характеристические свойства этих множеств.

7. Из множества параллелограммов выделили подмножество прямоугольников и подмножество квадратов. Постройте круги Эйлера для данных множеств. На сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества параллелограммов; укажите характеристические свойства этих множеств.

8. Из 25 учащихся класса 15 увлекаются математикой, а 12 – русским языком. Каким может быть число учащихся, увлекающихся обоими предметами; только одним предметом?

9. Из 25 учащихся класса 12 увлекаются математикой, а 8 – русским языком. Каким может быть число учащихся, увлекающихся обоими предметами; только одним предметом?

10. Из 30 учащихся класса 22 занимаются в математическом кружке, 11 – в кружке «Умелые руки», а 5 – в обоих кружках. Сколько учащихся класса не занимаются ни в том, ни в другом кружке?

11. Из 100 учащихся класса, изучающих английский и немецкий языки, 85 изучают английский, 45 – немецкий. Сколько человек изучают оба языка?

12. В классе 30 человек, посещающих факультативные занятия по естествознанию и математике. Известно, что углубленно изучают оба предмета 10 человек, а математику – 25. Сколько человек посещают факультативные занятия только по естествознанию?

13. В классе 28 учеников. Из них 12 лыжников, 10 пловцов, 18 велосипедистов, причем каждый спортсмен занимается ровно двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов? Сколько учеников не занимаются спортом?

14. Все 35 первокурсников являются читателями институтской или районной библиотеки. Из них 25 берут книги в институтской библиотеке, 20 – районной. Сколько из них: а) не являются читателями институтской библиотеки; б) не являются читателями районной библиотеки; в) являются читателями только институтской библиотеки; г) являются читателями только районной библиотеки; д) являются читателями обеих библиотек?

15. Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 5, немецкий и французский – 7. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучает только один язык?

16. Сколько чисел содержится в множестве Р, если известно, что среди них 100 чисел кратно двум; 115 – трем; 120 – пяти; 45 – шести; 38 – десяти; 50 – пятнадцати; 20 чисел – тридцати?

17. Из 100 студентов 6 отличников, 20 спортсменов и 25 участников «Весны ГГПИ». Из них отличников и спортсменов – 3; спортсменов и артистов – 2; отличников и артистов – 2, отличников, спортсменов и артистов – 1. Сколько студентов не являются ни отличниками, ни спортсменами, ни артистами?

18. В классе 35 учеников, каждый из которых любит футбол, волейбол или баскетбол. Из них 24 человека любят футбол, 18 – волейбол, 12 – баскетбол. 10 учеников любят футбол и волейбол, 8 – футбол и баскетбол, а 5 – волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?

19. Из 50 человек 20 занимаются плаванием, 25 – хоккеем, 6 – только волейболом, 4 – ни одним видом спорта. Сколько человек занимаются плаванием и хоккеем?

20. В спартакиаде участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет разряд по одному или нескольким видам спорта: легкой атлетике, плаванию или гимнастике. Известно, что 12 человек имеют разряд по легкой атлетике, 10 – по гимнастике, 5 – по плаванию. Сколько учеников имеют разряды по всем трем видам спорта, если по легкой атлетике и гимнастике имеют разряд 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека, по легкой атлетике и плаванию – 2 человека?

21. 80 человек знают хотя бы один из трех языков, причем 10 человек знают только английский, 14 – только немецкий, 20 – только французский, а число знающих все три языка на 2 меньше числа знающих только немецкий и французский, на 4 меньше числа знающих только английский и французский, на 6 меньше числа знающих только английский и немецкий. Сколько человек знают все три языка?

22. Одному из учащихся было поручено написать заметку в стенную газету об успеваемости класса за первое полугодие. Он взял журнал и выписал следующие сведения: из 40 учащихся класса 25 человек не имеют троек по русскому языку, 28 – по математике, 31 – по чтению, 22 – по чтению и русскому языку, 12 человек учатся без троек по всем предметам. Прочитав заметку, редактор сказал: «Ты ошибся в счете, данные явно неверные». Объясните, почему представленные сведения не могут быть верными?

23. В одной школе из 70 десятиклассников 26 человек занимаются в радиотехническом кружке, 18 – в математическом, 24 – в физическом, 20 человек не занимаются ни в каком кружке. Из членов физического кружка 10 посещают математический кружок и 6 радиотехнический. Есть ли ученики, посещающие только радиотехнический и математический кружки?